För vilka k är G konservativ.

Hej jag löst en uppgift utan facit eller lösning. Jag vet inte om jag har gjort rätt.

Frågan lyder:

Såhär gjorde jag:

$a) \overset{⇀}{G} (x, y, z) = \nabla \emptyset (x, y, z) = (F_{1}, F_{2}, F_{3}) \frac{\partial \emptyset}{\partial x} = F_{1} = y z, \frac{\partial \emptyset}{\partial y} = F_{2} = x z, \frac{\partial \emptyset}{\partial z} = F_{3} = x y + k (y) G ä r k o n s e r v a t i v o m \frac{\partial F_{1}}{\partial y} = \frac{\partial F_{2}}{\partial x}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z} = \frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial z} = \frac{\partial F_{3}}{\partial y} \frac{\partial F_{1}}{\partial y} = \frac{\partial F_{2}}{\partial x} = z, \frac{\partial F_{1}}{\partial z} = \frac{\partial F_{3}}{\partial x} = x, \frac{\partial F_{2}}{\partial z} = \frac{\partial F_{3}}{\partial y} = x + k_{y} (y) o m k (y) ä r e n k o n s \tan t, k o m m e r d e r i v a \tan a v k (y) = 0 a l l t s å k o m m e r l i k h e t e n a t t s t ä m m a . A l l t s å k a n k (y) v a r a a l l a r e e l l a t a l .$

$b) G (x, y, x) = \nabla \emptyset (x, y, x) = (\frac{\partial \emptyset}{\partial x}, \frac{\partial \emptyset}{\partial y}, \frac{\partial \emptyset}{\partial z}) \frac{\partial \emptyset}{\partial x} = y z, \frac{\partial \emptyset}{\partial y} = x z, \frac{\partial \emptyset}{\partial z} = x y + k (y) \emptyset (x, y, x) = \int (y z) d x = y z x + g (y, z) \Rightarrow \emptyset (x, y, x) = y z x + g (y, z) \frac{\partial \emptyset}{\partial y} = x z = z x + g_{y} (y, z) \Rightarrow g_{y} (y, z) = 0 g (y, z) = \int 0 d y = h (z) \Rightarrow g (y, z) = h (z) \frac{\partial \emptyset}{\partial z} = x y + k (y) = h_{z} (z) h (z) = \int (x y + k (y)) d z = x y z + k (y) z \emptyset (x, y, x) = y z x + g (y, z) = y z x + x y z + k (y) z = 2 x y z + k (y) z F ö r a t t d e r i v a \tan a v \emptyset m e d a v s e e n d e p å x, y . z s k a b l i s a m m a s a k s o m \emptyset m å s t e k (y) = - x y$

c) $V i v i l l b e r ä k n a k u r v i n t e g r a l e n . V i b ö r j a r m e d a t t k o l l a o m i n t e g r a l e n ä r " o b e r o e n d e a v v ä g e n " . D e n ä r o b e r o e n d e o m i n t e g r a l e n ä r k o n s e r v a t i v . F (x, y) = \nabla \emptyset (x, y) = (\frac{\partial \emptyset}{\partial x}, \frac{\partial \emptyset}{\partial y}) = (F_{1}, F_{2}) F_{1} = \frac{\partial \emptyset}{\partial x} = 2 x, F_{2} = \frac{\partial \emptyset}{\partial y} = 2 y O m l i k h e t e n g ä l l e r s å ä r d e n k o n s e r v a t i v : \frac{\partial F_{1}}{\partial y} = \frac{\partial F_{2}}{x} \frac{\partial F_{1}}{\partial y} = \frac{\partial F_{2}}{x} = 0 v i l k e t s t ä m m e r . \emptyset (x, y) = \int 2 x d x = x^{2} + g (y) \frac{\partial \emptyset}{\partial y} = 2 y = g_{y} (y) g (y) = \int 2 y d y = y^{2} + C \emptyset (x, y) = x^{2} + y^{2} + C \emptyset (- 1, 1) - \emptyset (0, 0) = 2$

Jag är inte riktigt säker på om jag har gjort rätt.

Så jag skulle verkligen uppskatta det ifall någon skulle kunna rätta mig om något är fel.

Jag hänger inte riktigt med i ditt resonemang i (b)-uppgiften:

Enl. förutsättningarna:

k är en en-variabelfunktion av y, $k(y)$ .

på b) tänkte jag att:

$G (x, y, z) = \nabla \emptyset (x, y, z) s å o m \emptyset (x, y, z) = 2 x y z + k (y) z s å m å s t e (\frac{\partial \emptyset}{\partial x}, \frac{\partial \emptyset}{\partial y}, \frac{\partial \emptyset}{\partial z}) = \nabla \emptyset (x, y, z) d ä r f ö r d e r i v e r a r v i 2 x y z + k (y) z m e d a v s e e n d e p å x, y o c h z . \frac{d}{d x} (2 x y z + k (y) z) = 2 y z, d e t t a m å s t e b l i l i k a m e d G (x, y, z) = (y z, x z, x y + k (y)) . A l l t s å m å s t e 1 y z b o r t . S å o m k (y) = - x y f å r v i a t t \frac{d}{d x} (2 x y z - x y z) = y z o s v .$

Jag instämmer i dina kalkyler från (a)-uppgiften att $k(y)=K$ , K är en reell konstant.

Med andra ord uppfyller $\Phi$ :

Det innebär, att

Med successiv integrering och matchning med ovanst. ekvationssystem, landar jag i att

Ok så då är a) rätt, men är c) rätt eller fel?

Uppgift (c): Korrekt!

dr_lund skrev:
Uppgift (c): Korrekt!

Ok.

Tack så mycket för hjälpen!

Jag kom på hur jag skulle lösa ut b)!

Svara

Visa senaste svar