för vilka värden är detta definierat?

Maremare skrev:

jag ska räkna ut för vilka t denna är definierad $\sqrt{1-\frac{1}{t+1}}$

jag har dock fastnat för att jag har glömt bort vilka räkneregler jag ska använda och blir förvirrad istället

jag har följande tankar kring detta så om någon skulle kunna hjälpa mig vidare vore jag evigt tacksam:

 

  1. Uttrycket under rottecknet ska inte vara negativt

Rätt

  2. nämnare med t ska vara skild från noll

Rätt

så för att lösa 1 löser jag olikheten:

$$\begin{gathered} 1-\frac{1}{t+1}\ge 0 \\ 1\ge \frac{1}{t+1} \end{gathered}$$

men här tar det stopp, jag vill ju multiplicera nämnaren i bägge led så jag får $$\begin{gathered} t+1\ge 1 \\ t \ge 0 \end{gathered}$$

men hur vet man om olikstecknet inte ska byta håll för vi vet ju ej om det är negativ tal?

Du kan dela upp det i två fall:

A: Nämnaren är positiv, dvs $t>-1$. Där har du redan kommit fram till villkoret $t\geq0$

B: Nämnaren är negativ, dvs $t<-1$. Då får du olikheten $t+1\leq1$ att lösa.

2. här ser jag att det t måste vara skilt från -1 [...]

Det stämmer.

Du har alltså kommit fram till en uppsättning olika villkor på $t$.

Skriv upp dem och se om de kan förenklas på något sätt.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

jag ska räkna ut för vilka t denna är definierad $\sqrt{1-\frac{1}{t+1}}$

jag har dock fastnat för att jag har glömt bort vilka räkneregler jag ska använda och blir förvirrad istället

jag har följande tankar kring detta så om någon skulle kunna hjälpa mig vidare vore jag evigt tacksam:

 

  1. Uttrycket under rottecknet ska inte vara negativt

Rätt

  2. nämnare med t ska vara skild från noll

Rätt

så för att lösa 1 löser jag olikheten:

$$\begin{gathered} 1-\frac{1}{t+1}\ge 0 \\ 1\ge \frac{1}{t+1} \end{gathered}$$

men här tar det stopp, jag vill ju multiplicera nämnaren i bägge led så jag får $$\begin{gathered} t+1\ge 1 \\ t \ge 0 \end{gathered}$$

men hur vet man om olikstecknet inte ska byta håll för vi vet ju ej om det är negativ tal?

Du kan dela upp det i två fall:

A: Nämnaren är positiv, dvs $t>-1$. Där har du redan kommit fram till villkoret $t\geq0$

B: Nämnaren är negativ, dvs $t<-1$. Då får du olikheten $t+1\leq1$ att lösa.

2. här ser jag att det t måste vara skilt från -1 [...]

Det stämmer.

Du har alltså kommit fram till 3 olika villkor på $t$.

hm okej men i 1 blir det i så fall:

fall 1: (om nämnare positiv)  t+1 > 1 --> t > 0

fall2: (om nämnare negativ) t+1 < 1 ---> t < 0

och i 2.

t skilt från 0

Så jag har fått svar att t ska vara lika med eller större än noll, eller t ska vara lika med eller mindre än noll men skilt från -1

då borde man ju bara kunna säga att t kan vara allting förutom -1?

men det är ju fel enligt facit

Nja, tror inte du tänkte vidare riktigt som Yngve gjorde.  Kanske blir lättare att tänka på vilka värden på t den inte är definierad för. Utöver t=-1 så kan vi se när uttrycket under rottecknet är odefinierat.

Det ger oss vilkoret att 1-(1/t+1)<0     --->      (1/t+1)>1     ---->     0 < (t+1) < 1

Vilkoret  0 < (t+1) < 1 kan skrivas om till  -1 < t < 0 

Detta ger alltså de värden på t som funktionen inte är definierad för. Lägg till det andra vilkoret att t inte får vara -1 så får du hela lösningen.

Är det inte enklare att lösa den enligt nedan:

$1-\frac{1}{t+1}=\frac{t+1-1}{t+1}=\frac{t}{t+1}\ge 0$

Om kvoten ska vara positiv måste antingen både täljaren och nämnaren vara positiva eller båda negativa.

Fall 1) Täljaren 0: $t=0$

Fall 2) Både täljare och nämnare positiva: $t>0$

Fall 3) Både täljare och nämnare negativa: $t<-1$

Slutligen blir definitionsmängden: $[-\infty,-1)\cup [0,\infty]$

tomast80 skrev:

Är det inte enklare att lösa den enligt nedan:

$1-\frac{1}{t+1}=\frac{t+1-1}{t+1}=\frac{t}{t+1}\ge 0$

Om kvoten ska vara positiv måste antingen både täljaren och nämnaren vara positiva eller båda negativa.

Fall 1) Täljaren 0: $t=0$

Fall 2) Både täljare och nämnare positiva: $t>0$

Fall 3) Både täljare och nämnare negativa: $t<-1$

Slutligen blir definitionsmängden: $[-\infty,-1)\cup [0,\infty]$

varför måste både täljare och nämnare vara negativa? varför kan man inte sätta att just t ska vara positiv eller negativ, varför blanda in hela nämnare och täljare?

@cjan1122 förstår dessvärre inte hur du räknade fram dom där uttrycken

förstår inte heller hur denna enkla uppgift kan vara så svår :S

Maremare skrev:

hm okej men i 1 blir det i så fall:

fall 1: (om nämnare positiv)  t+1 > 1 --> t > 0

Fall 1A, positiv nämnare: $t>-1$ och $t\geq0$. Dvs $t$ ska både vara större än -1 och större än eller lika med 0. Det betyder att $t\geq0$, är du med på det?

fall2: (om nämnare negativ) t+1 < 1 ---> t < 0

Fall 1B, negativ nämnare: $t<-1$ och $t\leq0$. Dvs $t$ ska både vara mindre än -1 och mindre än eller lika med 0. Det betyder att $t<-1$, är du med på det?

och i 2.

t skilt från 0

Så jag har fått svar att t ska vara lika med eller större än noll, eller t ska vara lika med eller mindre än noll men skilt från -1

då borde man ju bara kunna säga att t kan vara allting förutom -1?

men det är ju fel enligt facit

Fall 2, nämnare skild från 0: $t\neq-1$, dvs $t$ ska vara skild från -1. Det är den ju i bpde fall 1A och 1B.

De enda kvarvarande villkoren är alltså att antingen ska $t\geq0$ eller så ska $t<-1$.

Det betyder att de "förbjudna" värdena på t är $-1\leq t<0$.

Maremare skrev:

tomast80 skrev:

Är det inte enklare att lösa den enligt nedan:

$1-\frac{1}{t+1}=\frac{t+1-1}{t+1}=\frac{t}{t+1}\ge 0$

Om kvoten ska vara positiv måste antingen både täljaren och nämnaren vara positiva eller båda negativa.

Fall 1) Täljaren 0: $t=0$

Fall 2) Både täljare och nämnare positiva: $t>0$

Fall 3) Både täljare och nämnare negativa: $t<-1$

Slutligen blir definitionsmängden: $[-\infty,-1)\cup [0,\infty]$

varför måste både täljare och nämnare vara negativa? varför kan man inte sätta att just t ska vara positiv eller negativ, varför blanda in hela nämnare och täljare?

@cjan1122 förstår dessvärre inte hur du räknade fram dom där uttrycken

förstår inte heller hur denna enkla uppgift kan vara så svår :S

Därför att du vill undvika roten ur ett negativt tal.

Om du har $\sqrt{\frac{a}{b}}$ så är det odefinierat ifall antingen $a>0$ och $b<0$ eller $a<0$ och $b>0$.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

hm okej men i 1 blir det i så fall:

fall 1: (om nämnare positiv)  t+1 > 1 --> t > 0

Fall 1A, positiv nämnare: $t>-1$ och $t\geq0$. Dvs $t$ ska både vara större än -1 och större än eller lika med 0. Det betyder att $t\geq0$, är du med på det?

fall2: (om nämnare negativ) t+1 < 1 ---> t < 0

Fall 1B, negativ nämnare: $t<-1$ och $t\leq0$. Dvs $t$ ska både vara mindre än -1 och mindre än eller lika med 0. Det betyder att $t<-1$, är du med på det?

och i 2.

t skilt från 0

Så jag har fått svar att t ska vara lika med eller större än noll, eller t ska vara lika med eller mindre än noll men skilt från -1

då borde man ju bara kunna säga att t kan vara allting förutom -1?

men det är ju fel enligt facit

Fall 2, nämnare skild från 0: $t\neq-1$, dvs $t$ ska vara skild från -1. Det är den ju i bpde fall 1A och 1B.

De enda kvarvarande villkoren är alltså att antingen ska $t\geq0$ eller så ska $t<-1$.

Det betyder att de "förbjudna" värdena på t är $-1\leq t<0$.

jaha okej jag fattar nu, jag utelämnade villkoret t skilt från -1 men den följer alltså med genom hela uträkningen kan man säga. okej men då ska jag tänka på det för framtida beräkningar

tusen tack för hjälpen och till alla andra som skrivit här!