För vilka värden på v är cos v växande (Matematik/Matte 4)

Tänk istället en cosinuskurva. Mellan vilka värden växer funktionen?

Som hjälp får du här en cosinuskurva, frågan är alltså var på kurvan funktionen ökar i värde.

Där jag har markerat med svart är cosinus funktionen ”växande”

Förvisso, men det är överallt där lutningen är positiv, du har bara ritat halva sträckan

Hur kan cosinus värdet vara växande om den är på väg ”nedåt”?

Menar du att även i den grön markerade är cosinus växande?

Du beskriver det bra själv, cosinusvärdet är växande när kurvan är på väg uppåt. Det innebär inte att värdet måste vara > 0. Var är kurvan (cos x) på väg uppåt?

Kurvan är på väg uppåt där jag har markerat med svart, men är cosinus funktionen även ökande där jag Markerat med grönt?

Mellan vilka värden lutar kurvan snett uppåt höger? (Hela vägen) en funktion är ju växande om värdena på y-axeln ökar när x-värdena ökar.

Den gröna markeringen ger ju minskande y-värden när x-värdena ökar.

Fokusera på kurvans lutning, inte på vilket absolutvärde den har.

Ja alltså är det där jag markerat svart som ger en ökning

Tänk bort koordinatsystemet och fokusera bara på kurvan.

Ok? Jag kommer inte vidare..

Om du ta kurvans minimipunkt och börjar där så ökar väl kurvans y-värde hela vägen till kurvans maximipunkt?

Är du med på att funktionen växer på det här intervallet + $2 n π$ eller i grader + $n \cdot 360^{o}$

Ja nu förstår jag bättre men hur ska jag uttrycka det matematiskt? Dvs hur ska jag kunna få det till att bli 360•n?

Det går även bra att titta på enhetscirkeln som du gjorde från början.

cos(v) är x-koordinaten på enhetscirkeln.

Börja vid v = 0, x = cos(0) = 1.

Öka v från 0, x minskar, ända till v = pi, då x = -1. (Se din figur.)

Öka v från pi, x ökar, ända till v = 2*pi, då x = 1. (Se din figur. )

Etc.

Kan du visa mha en bild? Och förklara?

Vinkeln v utgår från positiv x-axel (v = 0) och ökar moturs.

I övre halvplanet så minskar x-koordinaten (= cos(v)) på enhetscirkeln när du roterar moturs. Se röda pilar eller orange exempelvinkel.

I undre halvplanet så ökar x-koordinaten (= cos(v)) på enhetscirkeln när du roterar moturs. Se lila pilar eller grön exempelvinkel.

(De två röda prickarna vid v = 0 och v = pi kan du strunta i.)

Okej. Men hur ska jag kunna ange värden på v där cos v är växande

Det går att se att cos(v) växer i undre halvplanet (lila pilar).

Vinkeln där kan t.ex gå från pi till 2*pi, men du kan ju också lägga på periodiciteten.

Okej alltså då v= 180 grader ökar cos v enda framtill då v=360 grader

Ja, och från 360° så minskar cos(v) till v = ... °?

Från cos 360 till 180 grader

Från v = 360° till v = 180° låter som att du går medurs. Jag skulle säga att cos(v) minskar från v = 360° till v = 540° .

Generellt kan man säga att cos(v)

- minskar från v = n*360° till 180° + n*360°

- ökar från v = 180° + n*360° till 360° + n*360°

där n är något heltal.

Dr. G skrev:
Från v = 360° till v = 180° låter som att du går medurs. Jag skulle säga att cos(v) minskar från v = 360° till v = 540° .

Generellt kan man säga att cos(v)

- minskar från v = n*360° till 180° + n*360°

- ökar från v = 180° + n*360° till 360° + n*360°

där n är något heltal.

Varför gäller det du skrev?

Cosinus är avtagande för vinklar i övre halvplanet (d.v.s första och andra kvadranten). Dessa vinklar kan t.ex skrivas

$0^{\circ} \leq v <>$

Periodiciteten kan även läggas på

$n\cdot 360^{\circ} + 0^{\circ} \leq v < n\cdot="" 360^{\circ}="" +="">$

Om man vet att cos(v) är x-koordinaten på enhetscirkeln så borde det framgå från figuren nedan.

För vinklar i undre halvplanet (tredje och fjärde kvadranten) så är cos(v) istället växande.

EDIT: ändrade en olikhet till strikt.

Dr. G skrev:
Vinkeln v utgår från positiv x-axel (v = 0) och ökar moturs.

I övre halvplanet så minskar x-koordinaten (= cos(v)) på enhetscirkeln när du roterar moturs. Se röda pilar eller orange exempelvinkel.

I undre halvplanet så ökar x-koordinaten (= cos(v)) på enhetscirkeln när du roterar moturs. Se lila pilar eller grön exempelvinkel.

(De två röda prickarna vid v = 0 och v = pi kan du strunta i.)

Okej alltså är cos v växande då

$360 + 360 n \geq v \geq 180 + 360 n$

Ja det stämmer.

Kommentar - Det vanliga är att man skriver de lägre värdena först och de högre sist, dvs 180° + n•360° $\leq$ v $\leq$ 360° + n•360°.

OBS 1: Viktigt du skriver $\leq$ istället för < överallt.

OBS 2: Viktigt att du anger enheten grader genom att skriva symbolen ° efter vinklarna. 180 betyder 180 radianer, 180° betyder 180 grader.

Okej!