För vilket tal gäller påståendet ?

Borde jag omvandla till polär form ?

Det låter som en bra idé.

De höt är vad jagkom fram till

Det mesta är rätt, men du krånglar till allt i onödan. 

Vad är arg(z) om Re(z) är noll?

Är inte arg(z)=30 grader eller pi/6 (radianer) ?

Läs min fråga igen. 

om Re(z)=0 borde väl oxå arg(z)=0

(Svarar eftersom Bubo är offline)

Nej, ta t.ex. det (påhittade) komplexa talet w = 5i.

Då gäller att Re(w) = 0, men Arg(w) är inte lika med 0, eller hur?

Vad är då Arg(w)?

Och kan du komma på några andra komplexa tal w = a+bii där Re(w) = 0?

Skriv gärna några här så kan vi tillsammans försöka hitta några likheter mellan dem.

Antag att vi har följande komplexa tal

Japp, både w = 5i och w = -3i uppfyller villkoret Re(w) = 0.

• För w = 5i gäller att Arg(w) = pi/2 + n*2pi
• För w = -3i gäller att Arg(w) = 3pi/2 + n*2pi

Ser du något samband som kan gälla för alla komplexa tal w där Re(w) = 0?

Ett litet inpass med några grunder.

Grund 1: Ett komplext tal kan skrivas R (cos a + i sin a), där R är absolutbeloppet.

Här har du helt korrekt funnit att R=4. Bryter man ut R får man (se ovan) att sin a =1/2.

Härav att a=pi/6

Grund 2: Det är alltid bra att rita enhetscirkeln med aktuella tal.

Grund 3: När man upphöjer ett komplext tal till n multipliceras argumentet med n.

Grund 4: Realdelen av ett komplext tal är noll när argumentet är pi/2 eller 3pi/2.

Det ger att n = 3 (3xpi/6= pi/2) se fig, och sen att n= 3+m6, eller 3, 9, 15 ,...

Yngve skrev:

Japp, både w = 5i och w = -3i uppfyller villkoret Re(w) = 0.

• För w = 5i gäller att Arg(w) = pi/2 + n*2pi
• För w = -3i gäller att Arg(w) = 3pi/2 + n*2pi

Ser du något samband som kan gälla för alla komplexa tal w där Re(w) = 0?

Är det så att om det är positiva tal så är arg 90 grader

och vice versa när det gäller negativa tal ? Dvs arg är 270 grader eller -90 ?

Det finns inga "positiva" eller "negativa" tal i det komplexa talplanet, nen du ser mönstret, vilket är bra!

Det gäller alltså att alla komplexa  tal w som uppfyller Re(w) = 0 ligger på imaginärdelsaxeln och för dessa så gäller det att Arg(w) = pi/2 + n*pi.

Är du med på det?

Och eftersom även det omvända gäller (dvs att alla komplexa tal som uppfyller Arg(w) = pi/2 + n*pi uppfyller även Re(w) = 0 så ger det dig en utmärkt ledtråd till att besvara ursprungsfrågan.

Jag undrar hur kom Hansa fram till uttrycket 

$3+6m ?$

Är du med på att ursprungsfrågan kan översättas till

"För vilka heltal $n$ gäller att $Arg (z)=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$ då $z=(2\sqrt{3}+2i)^n$"?

är inte perioden 2pi ?

Jo, men det gäller ju att realdelen är 0 för alla komplexa tal som ligger på imaginärdelsaxeln, och för dessa gäller ju att argumentet antingen är pi/2 + k*2pi eller 3pi/2 + k*2pi.

Detta kan kortare skrivas som att argumentet är pi/2 + k*pi.

Använd enhetscirkeln för att försäkra dig om att det stämmer.

De ligger väl mellan 90$°$och 270$°$

Jag förstår inte riktigt vad du menar.

===========

Är du med på följande?

De två mängderna

$v=\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi$

och 

$v=\frac{3\pi}{2}+k\cdot2\pi$

kan slås ihop till en mängd och då beskrivas som

$v=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$

Ja

Tillägg: 10 apr 2026 14:59

Nu till frågan hur kommer man till sambandet

$6m+3 ?$

Arup skrev:

Ja

Bra.

---

Tillägg: 10 apr 2026 14:59

Nu till frågan hur kommer man till sambandet

$6m+3 ?$

Det korta svaret är att det är dessa värden på n som gör att Arg(z) = pi/2 + n*pi.

Om du behöver mer förklaring så bygger det på att du förstår det jag skrev i svar #17.

Gör du det?

Ok, hur hittar jag för vilka $n$ likheten gäller ?

Är du med på att vi vill hitta de värden på n som gör att Arg(z) = pi/2 + k*pi?

Yngve skrev:

Är du med på att vi vill hitta de värden på n som gör att Arg(z) = pi/2 + k*pi?

Ja

Jag tänker mig att vi våra uppgift är att söka:
För vilka $n$gäller det att:

$z={(2\sqrt{3}+2i)}^n$

vi kom ju fram till $Arg\left(z\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k+\mathrm{\pi }$

vi kan omvandla problemet till polär form

$$\begin{gathered} z={(2\sqrt{3}+2i)}^n \\ z=4\left(\cos \right(\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2k)+i(\sin {(\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2k))}^n \end{gathered}$$

Arup skrev:

Jag tänker mig att vi våra uppgift är att söka:
För vilka $n$gäller det att:

$z={(2\sqrt{3}+2i)}^n$

Du missade en del av frågan (gulmarkerat i bilden):

vi kom ju fram till $Arg\left(z\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k+\mathrm{\pi }$

Nej, det stämmer inte. Eftersom $Arg(2\sqrt{3}+2i)=\frac{\pi}{6}$ så är $Arg(z)=Arg((2\sqrt{3}+2i)^n)=n\cdot\frac{\pi}{6}$

vi kan omvandla problemet till polär form

$$\begin{gathered} z={(2\sqrt{3}+2i)}^n \\ z=4\left(\cos \right(\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2k)+i(\sin {(\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2k))}^n \end{gathered}$$

Nej det stämmer inte.

Eftersom $2\sqrt{3}+2i=4(\cos(\frac{\pi}{6})+i\cdot\sin(\frac{\pi}{6}))$ så är $z=4^n(\cos(\frac{n\pi}{6})+i\cdot\sin(\frac{n\pi}{6}))$

kan jag ställa följande :

$\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }\times \mathrm{k}=4^{\mathrm{n}}\left(\cos \right(\frac{\mathrm{n\pi }}{6})+\mathrm{isin}(\frac{\mathrm{n\pi }}{6}) ?$

Bra, du tänker rätt!

(Men du råkar skriva fel. Vänsterledet är en vinkel, högerledet är ett komplext tal.)

Om du egentligen menar

$\frac{\pi}{2}+\pi\cdot k=\frac{n\pi}{6}$ så är det helt rätt!

varför var mitt föregående inlääg fel. Borde man inte tillämpa De.

-Movires formel ?

Om du menar det här du skrev i #28

så är det flera fel.

1. Det saknas en högerparentes på sista raden, 
2. Faktorn 4 ska vara 4ⁿ.
3. Argumentet ska vara pi/6, inte pi/6 + 2k

Varför adderar man inte argumentet med 2k ?

När vi löste ekvationer av högre grad så tog vi ju med den extra peioden med 2 för få alla vinklar.

Är det så här problemet ska angripas ?

Arup skrev:

Varför adderar man inte argumentet med 2k ?

När vi löste ekvationer av högre grad så tog vi ju med den extra peioden med 2 för få alla vinklar.

Jo, det kan du göra, men då inte 2k utan 2k*pi.

Arup skrev:

Är det så här problemet ska angripas ?

Nej z är inte lika med $2\sqrt{3}+2i$

Och ditt svar kan inte stämma eftersom n ska vara ett heltal, då kan inte n vara lika med 3+6k*pi

Jag tror att du ska börja med att lösa denna uppgift grafiskt, med hjälp av den utmärkta illustration som hansa gav i svar #13..

Där ser du direkt att n = 3 och n = 9 ger lösningar och att fortsatta lösningar har en periodicitet på "halva varv", dvs i detta fallet att n ändras med 6.

Det skapar förhoppningsvis  en förståelse för vad som efterfrågas och hur lösningarna ser ut, vilket kan guida dig genom den algebraiska lösningen.

Yngve skrev:

Jag tror att du ska börja med att lösa denna uppgift grafiskt, med hjälp av den utmärkta illustration som hansa gav i svar #13..

Där ser du direkt att n = 3 och n = 9 ger lösningar och att fortsatta lösningar har en periodicitet på "halva varv", dvs i detta fallet att n ändras med 6.

Det skapar förhoppningsvis  en förståelse för vad som efterfrågas och hur lösningarna ser ut, vilket kan guida dig genom den algebraiska lösningen.

±3, ±9 etc. då n är ett heltal, även negativt. Om z^n har Re=0 har även z^(-n) det.

Yngve, jag undrar: finns det någon "standardmall" för att lösa sådana typer av uppgifter ?

Jag gjorde ett nytt försök

Som jag har skrivit tidigare, z är inte lika med $2\sqrt{3}+2i$, som du har skrivit här:

Det här stämmer inte heller, det gäller att $z=4^n(cos(n\cdot\frac{\pi}{6})+i\cdot\sin(n\cdot\frac{\pi}{6}))$:

Men ditt svar stämmer.

Arup skrev:

Yngve, jag undrar: finns det någon "standardmall" för att lösa sådana typer av uppgifter ?

Ja, för att lösa uppgifter av typen "För vilka heltal n gäller att Re(z) = 0 då z = (a+bi)ⁿ" så kan du använda följande standardmetod:

1. Sätt w = a+bi
2. Skriv det komplexa talet w på polär form, gärna exponentiell polär form w = re^iv.
3. Då blir, enligt de Moivres formel, wⁿ = rⁿe^inv
4. Vi får då att z = rⁿe^inv
5. Re(z) = 0 innebär att nv = pi/2 + k*pi, vilket ger n = pi/(2v) +k*pi/v

Om uppgiften istället handlar om att bestämma de n för vilka Im(z) = 0 så byter du bara ut steg 5 mot följande:

Im(z) = 0 innebär att nv = k*pi, vilket ger n = k*pi/v

Men jag rekommenderar verkligen att du även löser liknande uppgifter grafiskt för att ge större förståelse för sambanden.

Jag har svårt att se hur den grafiska metoden ger mig svaret visuellt ?

Jag känner mig mer bekväm med att på poläf form än exponentiell

Arup skrev:

Jag har svårt att se hur den grafiska metoden ger mig svaret visuellt ?

De Moivres formel säger bland annat att om man upphöjer ett kpmplextt tal till n så multipliceras argumentet med n.

Titta nu på bilden i Hansas svar #13.

Där ser du att det komplexa talet hamnar på imaginärdelsaxeln och alltså uppfyller Re(z) = 0 om du multiplicerar argumentet med 3, 9, 15 och så vidare. Alltså är n = 3, 9, 15 och så vidare lösni gar.

Arup skrev:

Jag känner mig mer bekväm med att på poläf form än exponentiell

Det är en vanesak. Exponentiell form är betydligt kortare, vilket minskar risken för onödiga skrivfel.