för vilket x uppnår funktionen sitt största värde

Kan du förenkla g'(x)?

Dr. G skrev:

Kan du förenkla g'(x)?

det kan jag säkert men vill gärna veta strategin så jag förstår upplägget. är det tänkt att man räknar ut derivatans noll ställe vad det antar för x värde eller vadå?

Du behöver inte derivera. Titta på integranden; den är positiv fram till t = 1, och efter 1 är den negativ.

PATENTERAMERA skrev:

Du behöver inte derivera. Titta på integranden; den är positiv fram till t = 1, och efter 1 är den negativ.

ja precis så vad gör jag med denna information?

Då $0\leq t\leq1$ är integranden positiv, dvs dess graf ligger ovanför x-axeln. I detta område fås därmed ett positivt bidrag till integralens värde.

Då $t>1$ så är integranden negativ, dvs dess graf ligger under x-axeln. I detta område fås ett negativt bidrag till integralens värde.

Frågan gäller nu hur långt du ska gå för att integralens värde ska bli så stort som möjligt?

Yngve skrev:

Då $0\leq t\leq1$ är integranden positiv, dvs dess graf ligger ovanför x-axeln. I detta område fås därmed ett positivt bidrag till integralens värde.

Då $t>1$ så är integranden negativ, dvs dess graf ligger under x-axeln. I detta område fås ett negativt bidrag till integralens värde.

Frågan gäller nu hur långt du ska gå för att integralens värde ska bli så stort som möjligt?

yes detta och pantameras information har jag ju skrivit att jag är med på i det inledande inlägget. men jag vet inte vad jag ska göra efter det, vad är det jag ska räkna eller derivera eller vad är strategin, fastnat där :/

Om man har nånting och adderar ett positivt tal, så blir summan större än det ursprungliga talet. 

Om man har nånting och adderar ett negativt tal, så blir summan mindre än det ursprungliga talet. 

Smaragdalena skrev:

Om man har nånting och adderar ett positivt tal, så blir summan större än det ursprungliga talet. 

Om man har nånting och adderar ett negativt tal, så blir summan mindre än det ursprungliga talet. 

det stämmer!

$g(x)=\displaystyle\int\limits_{0}^{x}\dfrac{1-t}{1+t^{7/2}}\, dt$.

En variant vore att derivera: Du använder integralkalkylens huvudsats och får:

$g'(x)=\dfrac{1-x}{1+x^{7/2}}$.

Lokala extremvärden behandlar du på vanligt sätt: Bestäm kritiska punkter (dvs punkter där $g'(x)=0$).

Vidare: $g'(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{1-x}{1+x^{7/2}}=0$. Nollställen hittar du i täljarens nollställen, dvs x=1.

Sedan gör du teckenstudium av $g'(x)$ " symmetriskt nära" x=1.

Kan du göra det på egen hand?

dr_lund skrev:

$g(x)=\displaystyle\int\limits_{0}^{x}\dfrac{1-t}{1+t^{7/2}}\, dt$.

En variant vore att derivera: Du använder integralkalkylens huvudsats och får:

$g'(x)=\dfrac{1-x}{1+x^{7/2}}$.

ja men precis, det är det jag undrar om man skulle göra så och sen lösa för vilka x derivatan är noll och kolla om så det är max eller min?

Javisst kan du göra så.

Eller så kan du resonera dig fram till lösningen, så här:

• $g(x)$ (dvs integralens värde) är lika med 0 då $x=0$.
• Så länge som $x\leq1$ så ökar $g(x)$ (dvs integralens värde) då $x$ ökar eftersom integranden där är positiv.
• Då $x>1$ så minskar g(x) (dvs integralens värde) då $x$ ökar eftersom integranden där är negativ.

Det betyder att $g(x)$ har ett principiellt utseende som är något åt detta hållet:

Jag har skrivit några avslutande kommentarer i mitt tidigare svar. Försök att utföra teckenstudiet.