blnds 168
Postad: 26 mar 2019 Redigerad: 26 mar 2019

Förändringshastighet

Hej

Vid en olycka sprids en giftig gas. Området är cirkelformat och radien växer med 3 m/s. Med vilken hastighet ändras cirkelytans area 5 sekunder efter det att gasen börjat spridas?

Tänker att jag kan skriva upp det såhär:

dAdt=dAdr×drdt

drdt=3 Detta får jag från uppgiften.

Nu ska jag räkna ut dAdrmen hur gör jag det? Cirkelns area är pi * r^2 ska jag sätta in att r=3 och derivera det?

Hur beräknar ud arean för en cirkel, när du vet radien? Detta är A(r). Vad är A'(r)?

blnds 168
Postad: 26 mar 2019

Arean för en cirkel är pi * r^2.

A'(r) = 2pi *r

dAdt= 6 pi ×3=18pi

Hur ska jag göra nu för att beräkna hur hastigheten för cirkelytans area ändras efter 5 sekunder? 

Du vet A'(3), du vet r'(t). Du har skrivit ett användbart samband i ditt förstainlägg. Det är bara att montera ihop allting.

blnds 168
Postad: 26 mar 2019 Redigerad: 26 mar 2019

Förstår inte hur jag ska få in 5 genom att kolla på sambandet? 

blnds skrev:

Förstår inte hur jag ska få in 5 genom att kolla på sambandet? 

Jag skrev fel. Du vet att A'(r)=2πrA'(r)=2\pi r och kan få fram A'(5) genom att sätta in att t=5. Du vet från uppgiften att "Området är cirkelformat och radien växer med 3 m/s.", d v s du vet r'(t).  Du har ett anvädbart samband i ditt förastainlägg.

blnds 168
Postad: 26 mar 2019

Okej, så A'(5) = 18pi * 5 = 90pi som ungefär är 283 m^2/s? 

Smaragdalena 26365 – Moderator
Postad: 26 mar 2019 Redigerad: 26 mar 2019

Här har vi en av de situationer där det är tyckligare att använda beteckningen dAdr=90π\frac{dA}{dr}=90\pi så att vi inte blandar ihop det med dAdt\frac{dA}{dt} som är det vi vill beräkna. Jag inser nu (men inte för en stund sedan!) att det jag skrev i mitt förra inlägg möjligen kan tolkas fel.

blnds 168
Postad: 26 mar 2019

Men är 283 m^2/s rätt? 

Nej, det är dAdr\frac{dA}{dr}, inte dAdt\frac{dA}{dt} som man frågar efter, precis som jag skrev i mitt förra inlägg.

blnds 168
Postad: 26 mar 2019

Nu förstår jag inte vad jag ska göra? Jag har gjort rätt bortsett från det sista inlägget? 

Smaragdalena 26365 – Moderator
Postad: 26 mar 2019 Redigerad: 26 mar 2019

Du har fortfarande inte använt dig av det du skälv skrev i ditt förstainlägg, nämligen att dAdt=dAdr·drdt\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}.

blnds 168
Postad: 26 mar 2019

Gjorde jag inte det tidigare. 

dAdr =6pi

drdt=3

Sedan multiplicerar jag dem och får: dAdt=18pi

Det är möjligt att du har gjort det tidigare också, men nu presenterar du det på ett sätt som är så tydligt att jag kan hänga med. Ännu tydligare vore det att skriva

dAdt=dAdr·drdt\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}

dAdr=6π\frac{dA}{dr}=6\pi     drdt=3\frac{dr}{dt}=3

dAdt=6π·3=18π\frac{dA}{dt}=6\pi\cdot 3=18\pi

blnds 168
Postad: 27 mar 2019

Men det är nu jag inte förstår hur jag ska göra? 

Om jag fattar rätt, så är du färdig, men jag ville visa hur du kunde ha varit tydligare.

Laguna 4990
Postad: 27 mar 2019

Ännu tydligare blir det om man hela tiden sätter ut enheterna, tycker jag, och då får man en löpande kontroll av att det man gör är fysikaliskt rimligt.

blnds 168
Postad: 27 mar 2019

Men jag kan väll inte vara färdig nu? Jag har ju inte använt 5 någonstans i mina beräkningar som det står i uppgiften? 

Det borde du ha gjort - du borde ha beräknat värdet för dAdr\frac{dA}{dr} när r=5.

blnds 168
Postad: 27 mar 2019

Men 5 är väll inte r? 5 är i sekunder? 

Laguna 4990
Postad: 27 mar 2019

Radien ökar med 3 m/s. Hur stor är den efter 5 s? 

blnds 168
Postad: 27 mar 2019

15m

Laguna 4990
Postad: 27 mar 2019
blnds skrev:

15m

Då kan du sätta in det i de andra formlerna. 

blnds 168
Postad: 27 mar 2019

Förstår inte vilken formel 15m representerar, har redan "använt" alla formlerna? 

Laguna 4990
Postad: 27 mar 2019
blnds skrev:

Förstår inte vilken formel 15m representerar, har redan "använt" alla formlerna? 

Du undrade ju vad du skulle göra med 5. 

blnds 168
Postad: 27 mar 2019

Ja jag förstår inte hur den ska vara med i beräkningarna? Har ju kommit fram till att 

dAdt=18pi

Men vet inte hur jag ska göra nu? Efter 5s är radien 15. Representerar det:

drdt=15 ?? Är jätte förvirrad

Du skrev själv i ditt första inlägg att dAdt=dAdr+drdt\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}+\frac{dr}{dt}, d v s hur arean växer per tidsenhet är lika med hur arean växer i förhållande till hur radien växer multiplicerat med hur radien växer med avseende på tiden.

Det står i uppgiften att området är cirkelformat. Det betyder att A(r)=πr2A(r)=\pi r^2. Om man deriverar denna funktion med avseende på rr får man A'(r)=2πrA'(r)=2\pi r.

Det står också att radien växer med den konstanta hastigheten 3 m/s.

Du vill beräkna med vilken hastighet cirkelytans area ändras 5 sekunder efter att gasen har börjat spridas. När t=5 är r=15, så A'(r)A'(r) har värdet 2πr=2π·152\pi r=2\pi\cdot15 och A'(t)A'(t) är alltså 2π·15·32\pi\cdot15\cdot3.

Jag får erkänna att jag har läst lite för slarvigt tidigare.

blnds 168
Postad: 27 mar 2019

Okej, då förstår jag!

Tack så jättemycket för hjälpen. 

Svara Avbryt
Close