Förändringshastigheter

Vad tycker du blir fel?

JohanF skrev:

Vad tycker du blir fel?

Själva sambandet blir fel när jag ställer upp det så behöver därför tips/ledtråd som kan underlätta det. Jag ställer upp det på fel sätt trots att jag förklarar hur jag ställer upp på på ett logiskt sätt i bilden. 

Jag tycker att sambandet som du ställt upp, stämmer. Dvs

$S\left(x\right)=\sqrt{{25}^2+x^2}$

Från uppgiften får du $\frac{dS}{dt}=1.5m/s$, och du söker $\frac{dx}{dt}$

Jag förstår fortfarande inte riktigt vad du menar när du säger att det inte stämmer. Vad tycker du är fel i det samband du ställt upp?

JohanF skrev:

Jag tycker att sambandet som du ställt upp, stämmer. Dvs

$S\left(x\right)=\sqrt{{25}^2+x^2}$

Från uppgiften får du $\frac{dS}{dt}=1.5m/s$, och du söker $\frac{dx}{dt}$

Jag förstår fortfarande inte riktigt vad du menar när du säger att det inte stämmer. Vad tycker du är fel i det samband du ställt upp?

Är det s(x) som jag behöver derivera ?

I det andra sambandet som du har ställt upp

$\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dx}·\frac{dx}{dt}$

så behöver du beräkna $\frac{dS}{dx}$, sedan har du allt för att kunna lösa ut $\frac{dx}{dt}$

Hänger du med?

JohanF skrev:

I det andra sambandet som du har ställt upp

$\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dx}·\frac{dx}{dt}$

så behöver du beräkna $\frac{dS}{dx}$, sedan har du allt för att kunna lösa ut $\frac{dx}{dt}$

Hänger du med?

Då börjar jag med att derivera S(x) och sätter in 40 i funktionens derivata. 

Gör det. Tänk på om det är S eller x som är 40m.

Precis, det är det jag tänkte på när jag deriverat funktionen. Betyder det att jag behöver lösa ut x istället för s ?

Eftersom 40 är s och inte x så har jag löst ut X ur Pythagoras sats istället för S och deriverat X.   Får fortfarande fel svar. I mina uträkningar skriver jag ds/dx men det är inte det som jag räknar ut, utan dx/ds. Det är dessa beteckningar som jag blandar ihop och inte ställer upp på rätt sätt från början och det blir därför fel på slutet, tror jag iaf. Vad tycker du jag gör fel?

Ja men då tror jag att jag förstår vad du tycker inte stämmer (ledsen för frågorna...)

Du kan antingen utgå från funktionen $x\left(S\right)$eller från funktionen $S\left(x\right)$. Huvudsaken du har ett samband mellan S och x.

Om du utgår ifrån $x\left(S\right)$så blir sambandet mellan tidsderivatorna

$\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dS}·\frac{dS}{dt}$

och om du utgår från $S\left(x\right)$så blir sambandet mellan tidsderivatorna

$\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dx}·\frac{dx}{dt}$

Ser du nu var du kanske tänkte fel?

Sedan måste sambandet utvärderas vid rätt tillfälle, och jag tror att det var det som ställde till det för dig. Men från uppgiften får man värdet $S=40m$ och man kan ju med pythagoras sats räkna ut att det motsvarar $x=\sqrt{{40}^2-{25}^2}=31.2m$.  Alltså sambanden mellan tidsderivatorna vid den efterfrågade positionen kan antingen räknas ut med

$\frac{dx}{dt}={\overline{)\frac{dx}{dS}}}_{S=40}·\frac{dS}{dt}$

eller

$\frac{dS}{dt}={\overline{)\frac{dS}{dx}}}_{x=31.2}·\frac{dx}{dt}$

Hänger du med? 

Jag har lyckats lösa en annan uppgift men inte uppgift nr 3168. 
I båda uppgifterna döpte jag den okända kateten till a och den givna till s. 

Försökte lösa de på exakt samma sätt men det blev fel i uppgift 3168. Någon som kan förklara varför det blir fel?

Det är svårt att säga vad som blir fel i 3168 eftersom du inte har räknat ända fram till ett svar (däremot har du glömt nåt rottecken, men jag misstänker att det inte är det som du tycker är fel). Men kolla nedan så kanske vi kan reda ut det.

$$\begin{gathered} a\left(S\right)=\sqrt{S^2-{25}^2} \\ \frac{da}{dS}=\frac{S}{\sqrt{S^2-{25}^2}} \Rightarrow {\overline{)\frac{da}{dS}}}_{S=40}=\frac{40}{\sqrt{{40}^2-{25}^2}}=1.28 \\ \frac{da}{dt}={\overline{)\frac{da}{dS}}}_{S=40}·\frac{dS}{dt} = 1.28·1.5=1.9 \end{gathered}$$

Svar: $\frac{da}{dt}=1.9m/s$

ELLER

$$\begin{gathered} S\left(a\right)=\sqrt{a^2+{25}^2} \\ \frac{dS}{da}=\frac{a}{\sqrt{a^2+{25}^2}} \Rightarrow {\overline{)\frac{dS}{da}}}_{a=31.2}=\frac{31.2}{\sqrt{31.2^2+{25}^2}}=0.78 \\ \frac{dS}{dt}={\overline{)\frac{dS}{da}}}_{a=31.2}·\frac{da}{dt} \Rightarrow \frac{da}{dt}=1.5/0.78=1.9 \end{gathered}$$

svar: $\frac{da}{dt}=1.9m/s$

JohanF skrev:

Det är svårt att säga vad som blir fel i 3168 eftersom du inte har räknat ända fram till ett svar (däremot har du glömt nåt rottecken, men jag misstänker att det inte är det som du tycker är fel). Men kolla nedan så kanske vi kan reda ut det.

 

$$\begin{gathered} a\left(S\right)=\sqrt{S^2-{25}^2} \\ \frac{da}{dS}=\frac{S}{\sqrt{S^2-{25}^2}} \Rightarrow {\overline{)\frac{da}{dS}}}_{S=40}=\frac{40}{\sqrt{{40}^2-{25}^2}}=1.28 \\ \frac{da}{dt}={\overline{)\frac{da}{dS}}}_{S=40}·\frac{dS}{dt} = 1.28·1.5=1.9 \end{gathered}$$

Svar: $\frac{da}{dt}=1.9m/s$

 

ELLER

 

$$\begin{gathered} S\left(a\right)=\sqrt{a^2+{25}^2} \\ \frac{dS}{da}=\frac{a}{\sqrt{a^2+{25}^2}} \Rightarrow {\overline{)\frac{dS}{da}}}_{a=31.2}=\frac{31.2}{\sqrt{31.2^2+{25}^2}}=0.78 \\ \frac{dS}{dt}={\overline{)\frac{dS}{da}}}_{a=31.2}·\frac{da}{dt} \Rightarrow \frac{da}{dt}=1.5/0.78=1.9 \end{gathered}$$

svar: $\frac{da}{dt}=1.9m/s$

Tack så jättemycket för dina svar. Jag ska jämföra båda sätten och återkomma om det är något jag inte förstår.

Du kommer säkert att hitta vad som gick fel. Annars, hojta bara till, jag kan ha slarvat.

En grej på uppgift i kommentar #12 som sticker i ögonen på mig. Du har skrivit " $S\text{'}\left(1500\right)\approx 1.667m/s$" i lösningen på uppgift 3170,

men vilken enhet har egentligen $\frac{\mathbf{d}\mathbf{S}}{\mathbf{d}\mathbf{a}}$?

JohanF skrev:

Du kommer säkert att hitta vad som gick fel. Annars, hojta bara till, jag kan ha slarvat.

En grej på uppgift i kommentar #12 som sticker i ögonen på mig. Du har skrivit " $S\text{'}\left(1500\right)\approx 1.667m/s$" i lösningen på uppgift 3170,

men vilken enhet har egentligen $\frac{\mathbf{d}\mathbf{S}}{\mathbf{d}\mathbf{a}}$?

Där borde jag skriva att svaret blev 108m/s , dvs da/dt = 108m/s  men det var ett slavfel. Oklart för mig vad ds/da blir för det betyder derivatan av sträckan med avseende på a som är avståndet i detta fall. Går det att beskriva på ett annat sätt?

Du är rätt ute, men enheten går att beskriva bättre.

$S$ beskriver sträcka, och har enheten $m$

$\frac{dS}{dt}$är derivatan av $S$ med avseende på tiden, beskriver sträcka per tidsenhet och har därför enheten  $m/s$

$a$ beskriver sträcka, och har enheten $m$

$\frac{da}{dt}$ är derivatan av $a$ med avseende på tiden, beskriver sträcka per tidsenhet och har därför enheten $m/s$

$\frac{dS}{da}$är derivatan av $S$ med avseende på $a$, beskriver "sträcka per sträcka" och har därför enheten $m/m$, dvs är enhetslös.

Det kan man också se i sambandet mellan tidsderivatorna, $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{da}·\frac{da}{dt}$. Eftersom $\frac{dS}{dt}$och $\frac{da}{dt}$ båda har samma enhet, så måste $\frac{dS}{da}$vara enhetslös.

Vill återigen tacka för hjälpen. Jag har förhoppningsvis förstått hur sådana uppgifter kan lösas och att det finns två olika sätt att lösa de på. Det viktiga är dock att man utgår från beteckningarna i kedjeregeln. 

Om man utgår från sambandet:

ds/dt = (ds/da) * (da/dt), ska man då uttrycka funktionen mha Pythagoras sats, lösa ut S(a) och derivera S(a). 

om man däremot utgår från:

da/dt= (da/ds)*(ds/dt), ska man uttrycka funktionen mha Pythagoras sats, lösa ut a(s) istället och derivera a(s). 
 
Vilket samband man ska använda, beror ju självklart på vad man har döpt de olika kateterna till.

I alla dessa uppgifter finns det en given hastighet till en sträcka, dvs (ds/dt) som jag rimligtvis döper till S och för att övertyga mig om att det är ds/dt som är givet i uppgiften. Döper man den sträcka till någon annan bokstav tex g så blir det svårt att tillämpa sambandet.

Den okända kateten döper jag till a och den tredje ska vara givet i uppgiften, annars blir det då nästan omöjligt att tillämpa Pythagoras sats. Jag kan följaktligen alltid utgår från sambandet:

(ds/dt)=(ds/da)*(da/dt) så länge jag döper katerterna på samma sätt. Följer man detta sätt är man ute efter S(a) och S’(a) för att på slutet kunna beräkna (da/dt). Hoppas att jag var tydlig med mitt tankesätt.

Är det rätt metod att utnyttja eller finns det några eventuella avvikelser?

Det finns andra sätt att lösa uppgiften på också, tex med så kallad implicit derivering. Det dyker upp senare i Ma5-kursen tror jag, och skillnaden är då att du slipper bestämma vilken funktion du ska teckna, S(a) eller a(s), utan du deriverar sambandet som det ser ut, utan att först bilda en explicit funktion av det (dvs det som ställde till det för dig i denna uppgift). Alltså kanske lite mer intuitivt, men du kommer dit såsmåningom, så oroa dig inte för implicit derivering just nu.

Jag tycker att den tankegång du skriver ser ut att fungera. Tex en bra ide att till en början använda variabelnamn som gör det lättare att känna igen metoderna som ska användas (men det kommer du inte att behöva efter lite mängdträning). Men jag tycker också att du klarar av att tänka lite mer generellt, så slipper du memorera detaljer i typuppgifter, och du kommer att få lättare att klara av uppgifter som avviker lite från typuppgiften. Typ:

1. Försök hitta ett samband mellan de variabler som anges i uppgiften (rita figur, såklart!). Det kan vara ett geometriskt samband liknande det som fanns i dina uppgifter, där man kan använda tex pythagoras, eller trigonometriska samband.

2. Om uppgiften söker en förändringshastighet, dvs tidsderivator av dessa variabler, så måste man hitta sambandet mellan dessa. Det gör man genom att derivera sitt samband med avseende på tiden, Använd kedjeregeln. Var noga med vilka variabler som har ett tidsberoende, och vad som är konstanter. I ditt fall var a och S tidsberoende, men h var en konstant.