7 svar
106 visningar
SeriousCephalopod 1837
Postad: 29 apr 2019 Redigerad: 29 apr 2019

[Kluring] Förenkla en produkt av n st 3-terms-polynom

Notera specialfallet

(1+x+x2)(1+x3+x6)=1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8(1 + x + x^2)(1 + x^3 + x^{6})= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8

Bevisa att 

(1+x+x2)(1+x3+x6)(1+x9+x18)(1+x3n-1+x2·3n-1)=1+x+x2+...+x3n-1(1 + x + x^2)(1 + x^3 + x^{6})(1 + x^9 + x^{18})\cdots (1 + x^{3^{n - 1}} + x^{2 \cdot 3^{n - 1}}) = 1 + x + x^2 + ... + x^{3^{n} - 1}

gäller för alla heltal nn.

Laguna Online 6359
Postad: 29 apr 2019

Är det inte bara att... ? 

SeriousCephalopod 1837
Postad: 29 apr 2019
Laguna skrev:

Är det inte bara att... ? 

Att vad? (Behöver inte vara så svår beroende på vad man kan)

Laguna Online 6359
Postad: 29 apr 2019
SeriousCephalopod skrev:
Laguna skrev:

Är det inte bara att... ? 

Att vad? (Behöver inte vara så svår beroende på vad man kan)

Jag behöver nog penna och papper i alla fall. 

parveln Online 338
Postad: 29 apr 2019

Induktion verkar vara ett enkelt sätt att visa det på. Vi har redan visat det för ett basfall n=1(och n=0 är trivialt).  Antag nu att det gäller för något n och visa att det gäller för n+1. Produkten av alla parenteser utom den sista blir då enligt induktionsantagandet 1+x+...+x3n-1. Nu återstår endast att multiplicera detta med (1+x3n+x2*3n-1)

Eftersom termerna skiljer sig åt med en exponent 3nfås efter distribution helt enkelt 1+x+x2+...+x3*3n-1

vilket är det som ges av insättning av n+1 i högerled i formeln som skulle visas. Enligt induktionsprincipen gäller då formeln för alla positiva heltal n. (Osäker på vad det innebär för n att vara negativt)

SeriousCephalopod 1837
Postad: 29 apr 2019 Redigerad: 29 apr 2019
parveln skrev:

Induktion verkar vara ett enkelt sätt att visa det på. Vi har redan visat det för ett basfall n=1(och n=0 är trivialt).  Antag nu att det gäller för något n och visa att det gäller för n+1. Produkten av alla parenteser utom den sista blir då enligt induktionsantagandet 1+x+...+x3n-1. Nu återstår endast att multiplicera detta med (1+x3n+x2*3n-1)

Eftersom termerna skiljer sig åt med en exponent 3nfås efter distribution helt enkelt 1+x+x2+...+x3*3n-1

vilket är det som ges av insättning av n+1 i högerled i formeln som skulle visas. Enligt induktionsprincipen gäller då formeln för alla positiva heltal n. (Osäker på vad det innebär för n att vara negativt)

Det fungerar. Och menade bara positiva heltal men för sent för att redigera nu. Man kan tolka det för de negativa också dock om man vill. 

Jag skulle dock tycka att det vore bra med någon utvecklad motivation för hur man kan vara säker på att distribution verkligen ger just den sekvensen av monom varje gång. 

Om identiteten stämmer är det såklart så men jag kunde lurats också och det hela bryter ner vid någon punkt såsom att uppdelningen av cirkeln is sektioner ser ut att vara 2-potenser 1,2,4,8,16,... men sen kommer 31.

parveln Online 338
Postad: 29 apr 2019

Det räcker med att betrakta största och minsta termen som bildas från att var och en av de tre termerna i parentesen multipliceras. 1an ger upphov till minsta 1, största x3n-1. Andra termen ger minsta term x3n och största term x2*3n-1. Som precis "matchar det vi fick från ettan. Det blir precis samma med den sista termen.

Smutsmunnen Online 112
Postad: 29 apr 2019

1+x+x2 = x3-1x-11+x3+x6 = x9 -1x3-1...1+x3n-1+x2×3n-1 = x3n-1x3n-1-1

Man kan som ovan illustreras skriva faktorerna i VL som varsin kvot. Deras produkt blir därför teleskoperande och ger

=x3n-1x-1= 1+x+x2+...+x3n-1

Svara Avbryt
Close