Förenkla med de Moivres formel

Förenkla med de Moivres formel:

 

Jag har hittat något som är lite konstigt. Jag ska visa hur jag har gjort uppgiften och hur boken har gjort uppgiften. 

Jag gjorde så är:

${\left(2-2i\right)}^5$

för att använda de Moivres måste vi ha detta i potensform. 

z=a+bi till

z=r(cos(v)+i sin(v))

$$\begin{gathered} r=\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2} \\ r=\sqrt{{\left(2\right)}^2+{(-2)}^2} \\ r=\sqrt{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \tan \left(v\right)=\frac{b}{a} \\ v={\tan }^{-1}\left(\frac{-2}{2}\right) \\ v={\tan }^{-1}(-1) \\ v={135}^{°} \end{gathered}$$

då får vi i potensform:

$$\begin{gathered} z=\sqrt{8}\left(\cos \right({135}^{°})+i·\sin ({135}^{°}\left)\right) \\ {z}^5=\left({\sqrt{8}}^5\right(\cos (5·{135}^{°})+i·\sin (5·{135}^{°})) \\ ={\sqrt{8}}^4·{\sqrt{8}}^1(\cos \left({675}^{°}\right)+i·\sin \left({675}^{°}\right)) \\ =64·\sqrt{8}(\cos \left({675}^{°}\right)+i·\sin \left({675}^{°}\right)) \end{gathered}$$

här vet jag att cos är periodisk med 360 så tar 675-360 och får 315 grader.

$$\begin{gathered} =64\sqrt{8}\left(\cos \right({675}^{°}-{360}^{°})+i·\sin ({675}^{°}-{360}^{°}\left)\right) \\ =64\sqrt{8}\left(\cos \right({315}^{°})+i·\sin ({315}^{°}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos \left({315}^{°}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \left({315}^{°}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =64\sqrt{8}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i) \\ =\frac{64\sqrt{8}}{\sqrt{2}}-\frac{64\sqrt{8}}{\sqrt{2}}i \\ =\frac{64\sqrt{2·2·2}}{\sqrt{2}}-\frac{64\sqrt{2·2·2}}{\sqrt{2}}i \\ =64\sqrt{4}-64\sqrt{4}i \\ =64·2-64·2i \\ =128-128i \end{gathered}$$

 

Här får jag ett problem. Boken säger att detta svar är fel, och att det skulle vara $=-128+128i$

Jag ser att istället för vad jag gjorde:

$$\begin{gathered} v={\tan }^{-1}(-1) \\ v={135}^{°} \end{gathered}$$

fick boken istället:

$$\begin{gathered} v={\tan }^{-1}(-1) \\ v={315}^{°} \end{gathered}$$

och detta leder till att när de använder de Moivres formel, blir svaret z=-128+128i. 

Detta kan ni se här:

Har jag gjort något fel här? De ser ut att ha gjort allt på samma sätt som jag, men istället för att ta arctan(-1)=135 grader får de istället arctan(-1)=315 grader.