Förenkla rationell uttryck

Yosef skrev :

Följande rationella uttryck $$\begin{gathered} \frac{6x^2+27x+12}{6x+ 3} ska gå att förenkla så att nämnaren blir lika med 1. vad ska stå i täljaren ?\hspace{0.17em} \\ jag får inte till det, tänkte att man först ska tänka på att få bort 6x i nämnaren och då kan man bryta ut 6x i täljaren genom att faktorisera, \\ men det är bara två variabeltermer i täljaren så den tredje är bara vanligt kons\tan t. \\ hur ska man lösa detta \end{gathered}$$

Faktorisera täljaren till två faktorer (ax + b)(cx + d). Om en av dessa faktorer är 6x + 3 så går denna faktor att förkorta bort (i de fall dör 6x + 3 ej är lika med 0).

Hej!

Om $x=a$ och $x=b$ är lösningar till ekvationen

    $6x^2+27x+12=0$

så kan täljaren faktoriseras som

    $6(x-a)(x-b)$. 

Albiki

kan någon visa hur hela denna uträkningen ser ut !

$6X^2 + 27X +12 = \left( 6X + 3 \right) \left( X + 4 \right)$

Följande rationella uttryck $\frac{6x^2+27x+12}{6x+3}$  går att förenkla så att nämnaren blir lika med 1. 

jag har räknat ut de såhär. man bryter ut 6 från täljaren och kör pq-formeln på de inom parantesen som följande.

$6(x^2+4,5x+2) pq-> x=-\frac{4,5}{2}\pm (\sqrt{(\raisebox{1ex}{$4,5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2)^2-2)$}\right.}=-\frac{4,5}{2}\pm 1,75$

$ger att x1=-4 0ch x2=-0,5$

jag ska skriva uttrycket i denna form  (ax+b)(cx+d) 

Finns det något namn på den "lagen" som de finns på allt annat eller ?

och vad är detta för något 6(x-a)(x-b) om man sätter in det x värden som man fick ut i denna formel så blir det som följande. $6(x-(-0,5\left)\right)(x-(-4\left)\right)=6(x+0,5)(x+4)=(6x+3)(x+4)=6x^2+24x+3x+12 = 6x^2+27x+12$

hur kan man innan veta vilken utav de två "formlerna" (x-a)(x-b) (ax+b)(cx+b) man ska tillämpa, Precis efter man har kommit fram till lösningarna på x-värdena? 

och varför ska det just stå (x-a)(x-b) har det nåt att göra med att det ska bli lika med noll i parentesen? de är som sagt svårt att ens veta hur man ska uttrycka de som frågas efter men hoppas någon villig själ tar sig tiden o kan förklara detta...

Här nedanför är ett annat exempel på ett rationellt uttryck vars nämnare kan förenklas till 1. 

$\frac{5x^2+18x+16}{5x+8}$ 

Precis som den ovan så räknade jag ut rötterna genom att bryta ut koefficienten framför x^2-termen, faktorisera uttrycket och körde pq formeln på de innanför parentensen

$5(x^2+3,6x+3,2) pq-formel->x=-1,8\pm (\sqrt{(1,8)^2-3,2)} = -1,8\pm 0,2$

och fick att X1=-2 och X2=-1,6 

Det är härifrån jag har svårt att avgöra hur jag ska använda  (ax+b)(cx+d)  eller varför det ens ska va den och inte (x-a)(x-b) hur vet man när det ska stå minus eller plus  (x+b)(x+b) utifrån de x-värden man har?

Vid lösningen av den ursprungliga uppgiften
har du missade att det står minus framför $\frac{4,5}{2}$ 
så x1 och x2 blir inte de värden du skriver ( x1=0,25 och x2=4 )

> först ska tänka på att få bort 6x i nämnaren

Hur?

Men du kan börja med att förkorta med 3:

(2*x^2 + 9*x + 4) / (2*x + 1) || dividera polynomer

(2*x + 1) * (x+4)  / (2*x + 1) || förkorta med (2*x + 1)

(x+4) WOW

Yosef skrev :

Följande rationella uttryck $\frac{6x^2+27x+12}{6x+3}$  går att förenkla så att nämnaren blir lika med 1. 

jag har räknat ut de såhär. man bryter ut 6 från täljaren och kör pq-formeln på de inom parantesen som följande.

$6(x^2+4,5x+2) pq-> x=-\frac{4,5}{2}\pm (\sqrt{(\raisebox{1ex}{$4,5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2)^2-2)$}\right.}=-\frac{4,5}{2}\pm 1,75$

$ger att x1=0,25 0ch x2=4$

jag ska skriva uttrycket i denna form  (ax+b)(cx+d) 

Finns det något namn på den "lagen" som de finns på allt annat eller ?

 

och vad är detta för något 6(x-a)(x-b) om man sätter in det x värden som man fick ut i denna formel så blir det som följande. $6(x-0,25)(x-4)=(6x-0,25)(x-4)=6x^2-24x-3x+12 = 6x^2-27x+12$

vilket inte blir lika med ursprungsekvationen. tagit givet att a och b värdena ska va samma som x-värdena? 

hur kan man innan veta vilken utav de två "formlerna" (x-a)(x-b) (ax+b)(cx+b) man ska tillämpa, Precis efter man har kommit fram till lösningarna på x-värdena? 

 

och varför ska det just stå (x-a)(x-b) har det nåt att göra med att det ska bli lika med noll i parentesen? de är som sagt svårt att ens veta hur man ska uttrycka de som frågas efter men hoppas någon villig själ tar sig tiden o kan förklara detta...

 

Här nedanför är ett annat exempel på ett rationellt uttryck vars nämnare kan förenklas till 1. 

$\frac{5x^2+18x+16}{5x+8}$ 

Precis som den ovan så räknade jag ut rötterna genom att bryta ut koefficienten framför x^2-termen, faktorisera uttrycket och körde pq formeln på de innanför parentensen

$5(x^2+3,6x+3,2) pq-formel->x=-1,8\pm (\sqrt{(1,8)^2-3,2)} = -1,8\pm 0,2$

och fick att X1=-2 och X2=-1,6 

Det är härifrån jag har svårt att avgöra hur jag ska använda  (ax+b)(cx+d)  eller varför det ens ska va den och inte (x-a)(x-b) hur vet man när det ska stå minus eller plus  (x+b)(x+b) utifrån de x-värden man har?

I ditt andra exempel Yosef när du fått de två x-värdena med pq-formeln
x1=-2   och   x2=-1,6
ska du sätta in dessa värden i stället för  a  och  b
i  5( x - a )( x - b )

alltså minus  framför både  a  och  b
men tänk på att  a  och  b  är  negativa så

5( x - (-2) ) ( x - (-1,6) )       =>    5 ( x + 2 ) ( x + 1,6 )    =>    ( x + 2 ) ( 5x + 8 )

okej, ska jag utgå från att alltid använda (x-a)(x-b) då? sedan sätta in de x-värdena man har?

såg att det första exemplet inte va de bästa. 

 ska man utgå från detta  då (x-a)(x-b). isåfall vad är detta för något (ax+b)(cx+d) ?

Du ska sätta in x-värdena som   a   och  b
i   ( x - a )( x - b )       [alltså minus framför både a och b]

I ditt exempel    ( x + 2 ) ( x + 1,6 )

men så hade du ju en  5:a  framför, alltså

                         5 ( x + 2 ) ( x + 1,6 )

eftersom du har  5x + 8  i nämnaren så är det i detta fall
listigt att multiplicera in  5:an  i den andra parentesen

                            ( x + 2 ) ( 5x + 8 )

det här är vad Yngve i  tidigare inlägg menade med 
                           (ax + b ) ( cx + d )            [ a b c d  här ska inte förväxlas med a och b ovan]
                           (1x + 2 ) ( 5x + 8 )