Förenkling av (1/2)*(ln(x+1)-ln(x-1))

Har stött på ett problem vid flertalet tillfällen. Jag förenklar derivatan av $\frac{1}{1-x^2}$enligt den rosa texten (se bild) vilket jag tycker känns rimligast enligt logaritmlagarna, men varje gång jag gjort det så får jag fel och facit vill att jag egentligen skriver enligt den blåa texten. Är det någon regel eller vad är det jag missat!??!