Förenkling av indexräkning

$\delta_{ij}$ och $\partial_j$ är två helt olika saker.

$\partial_j$ är en derivering.  Till exempel är

$\partial_jA_j$ detsamma som $\partial_xA_x+\partial_yA_y+\partial_zA_z=\nabla\cdot \mathbf{A}$

$\delta_{ij}$ (Kroneckers delta) är en tensor som antar värdet 1 om $i=j$, annars $0$. Det används till exempel vid namnbyten på index och dyker upp när du kontraherar $\varepsilon$.

D4NIEL skrev:

$\delta_{ij}$ och $\partial_j$ är två helt olika saker.

$\partial_j$ är en derivering.  Till exempel är

$\partial_jA_j$ detsamma som $\partial_xA_x+\partial_yA_y+\partial_zA_z=\nabla\cdot \mathbf{A}$

$\delta_{ij}$ är en tensor som antar värdet 1 om $i=j$, annars $0$.

Fast jag förstår inte riktigt. Jag är helt säker på att det här sambandet bör gälla som jag använde mig av . Nu tänker jag på denna nedan:

Ja, där använder du Kronecker delta för att byta namn på indexet från $i$ till $j$, dvs $A_i\to A_j$

Men uttrycket $A_j\delta_{ij}-A_j\delta_{ij}$ förekommer inte någonstans i förenklingen du visade?

D4NIEL skrev:

Ja, där använder du Kronecker delta för att byta namn på indexet från $i$ till $j$, dvs $A_i\to A_j$

Men uttrycket $A_j\delta_{ij}-A_j\delta_{ij}$ förekommer inte någonstans i förenklingen du visade?

Det står Ajdeltaij-Ajdeltaji i #1. Deltaij och deltaji kan man flytta så den hamnar framför Aj. Jag håller med om att han i videon inte gör så, det är därför jag undrade om man kan göra som jag tänker på.

Jag förstår inte vad du menar nu. Kan du skriva ned din tänkta manipulation på papper och visa?

Det stämmer till exempel att $A_i=\delta_{ij}A_j=A_j\delta_{ij}=A_j\delta_{ji}=A_m\delta_{mi}$

D4NIEL skrev:

Jag förstår inte vad du menar nu. Kan du skriva ned din tänkta manipulation på papper och visa?

Det stämmer till exempel att $A_i=\delta_{ij}A_j=A_j\delta_{ij}=A_j\delta_{ji}=A_m\delta_{mi}$

Ja precis. I andra bilden i #1 får jag svaret  till 0 medan han i videon får något helt annat svar mha produktregeln.

Jag vet ju inte vilken video du pratar om, men i exemplet ovan som jag tror är en bild från videon, använder han en känd regel för kontraktion av $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{rmk}=(\delta_{ir}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jr})$. Det är inte en produktregel.

$\partial_i (A_jA_j)=2A_j\partial_iA_j$ är en produktregel men handlar inte om $\delta_{ij}$

D4NIEL skrev:

Jag vet ju inte vilken video du pratar om, men i exemplet ovan som jag tror är en bild från videon, använder han en känd regel för kontraktion av $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{rmk}=(\delta_{ir}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jr})$. Det är inte en produktregel.

$\partial_i A_jA_j=2A_j\partial_iA_j$ är en produktregel men handlar inte om $\delta_{ij}$

Jo jag förstår att han använder en känd regel. Men jag undrar om uppgiften hade kunnnat lösas som jag tänkte på i andra bilden där jag försökte använda kroneckers deltaij?

Kan du visa delen där du hade tänkt använda Kroneckers delta på något sätt? 

D4NIEL skrev:

Kan du visa delen där du hade tänkt använda Kroneckers delta på något sätt? 

Nej, det stämmer inte 

$\partial_iA_j$ är INTE samma sak som $A_j\delta_{ij}$

$\partial_iA_j$ är ju $\frac{\partial A_j}{\partial x^i}$. Detta är inte samma sak som $\delta_{ij}A_j=A_i$

$\partial_iA_j$ är en tensor med två fria index. Tensorn $A_i$ är en tensor med ett fritt index.

För Kronecker delta gäller däremot att

$\delta_{ij}=\frac{\partial x^i}{\partial x^j}$, det är kanske är det du sett någonstans?

D4NIEL skrev:

Nej, det stämmer inte 

$\partial_iA_j$ är INTE samma sak som $A_j\delta_{ij}$

$\partial_iA_j$ är ju $\frac{\partial A_j}{\partial x^i}$. Detta är inte samma sak som $\delta_{ij}A_j=A_i$

$\partial_iA_j$ är en tensor med två fria index. Tensorn $A_i$ är en tensor med ett fritt index.

För Kronecker delta gäller däremot att

$\delta_{ij}=\frac{\partial x^i}{\partial x^j}$, det är kanske är det du sett någonstans?

Hm då vet jag inte. Jag har bara sett sambandet i #3 och någon övning där man visade att d_ir_j=deltaij  så jag använde mig av samma princip. 

Ja, men det gäller bara specialfallet med lägesvektorn, $r=(x,y,z)$

$\partial_i r_j=\frac{\partial r_j}{\partial x_i}=\frac{\partial x_j}{\partial x_i}=\delta_{ij}$

När man till exempel deriverar den första komponenten $r_1$ dvs $x$ med avseende på $x$ får man ju 1. När man deriverar med avseende på $y$ eller $z$ får man $0$. Detta är ju exakt villkoret för Kronecker delta.

Det gäller inte allmänt för en tensor $A_j$ 

D4NIEL skrev:

Ja, men det gäller bara specialfallet med lägesvektorn, $r=(x,y,z)$

$\partial_i r_j=\frac{\partial r_j}{\partial x_i}=\frac{\partial x_j}{\partial x_i}=\delta_{ij}$

Det gäller inte allmänt för en tensor $A_j$

Jaha så A är en tensor? Jag trodde A var en lägesvektor som r. I videon nämndes ingenting om A är en lägesvektor eller tensor. 

Du kan i regel tänka dig att vektorer är som en sorts tensorer med ett fritt index. $r_j$ har det fria indexet $j$

$r_1=r_x=x$

$r_2=r_y=y$

$r_3=r_z=z$

I videon ovan (åtminstone på den bild du visat) förekommer inte lägesvektorn någonstans.

Tensorn $A_j$ har ett fritt index och är därmed en tensor av första ordningen som du kan tänka på som en vektor.

Tensorn $\delta_{ij}$ har två fria index, den kan du tänka på som en sorts enhetsmatris.

Om du sätter ihop ett uttryck som $A_j\delta_{ij}$ ser du att det bara har ett fritt index, alltså är det en sorts vektor.

Om du istället sätter ihop ett uttryck som $\partial_iA_j$ har du TVÅ fria index, det blir alltså en sorts matris.

Edit: Din formel stämmer ju som sagt i specialfallet $A_j=r_j$ och då har du därmed visat att

$\nabla \times \vec{r}=0$, vilket är sant :-)