Förenkling av rotuttryck

Låt $a_1=-p$ och $a_2=+p$, beräkna $a^6$ för $a_1$ och $a_2$.

Vad händer med teckeninformationen framför p?

Ja, tecknet framför p försvinner ju naturligtvis. Men räcker det som motivering när man svarar?

Hej Tarkovsky!

Det du skriver saknar mening, eftersom som du skrivit ett komplicerat rotuttryck i symbolen $a$ och sedan hävdar att det komplicerade rotuttrycket gäller för alla reella tal $x$, utan att säga något om kopplingen mellan symbolen $a$ och talet $x.$

    $\displaystyle \sqrt[3]\sqrt[4]{a^{6}} = \sqrt[3]{|a|^{6/4}} = |a|^{6/(4\cdot 3)} = |a|^{1/2} = \sqrt{|a|}.$

Om du från början vet att $a$ är ett negativt tal så är slutsatsen ($\sqrt{a}$) inte definierad; premissen innehåller däremot ett definierat objekt: Det positiva talet $\sqrt[3]\sqrt[4]{a^{6}}.$

Det gäller att fjärde-roten $\sqrt[4]{b}$ är definierat som det icke-negativa tal som är sådant att

    $(\sqrt[4]{b})^4 = b.$

Det medför att om $b$ betecknar ett negativt tal så är  $\sqrt[4]{b})^4 = |b|.$

Albiki

Det gäller att

$\sqrt[4]{a^6}={\left|a\right|}^{6/4}={\left|a\right|}^{3/2}$

detta eftersom just $a^6$ "tar bort" tecknet på $a$. Precis på samma sätt som

$\sqrt{a^2} = |a|$

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^{6}}} = \sqrt[3]{|a|^{6/4}} = |a|^{6/(4\cdot 3)} = |a|^{1/2} = \sqrt{|a|}.$

Tack för era svar. Jag såg nu att precis som du skriver Albiki så saknar mitt första inlägg mening. Naturligtvis skulle det stå a istället för x. Sorry!

Alltså gäller det alltid, mer generellt, att $\sqrt{x^n}={\left|x\right|}^{\frac{n}{2}}$ om n är jämnt?

Ja, det gäller alltid.

Några andra exempel illustrativa exempel baserat på mina möten med nybakade gymnasiestudenter:

$\sqrt{4}=2$ inte $\pm 2$, ty $2\geq0$ och $2^2=4$.

Ekvationen $x^2=4$ däremot har lösningarna $x_{12}=\pm 2$

För varje reellt tal x gäller

$\sqrt[3]{-64}=-4$

$(-4)^{\frac{-3}{2}}$ är inte definierat.