Förenkling förstår inte

Det var en förvirrande lösning! Tanken i lösningen är följande: Använd trigettan för att skriva om integranden till $1-\sin^2{(x)}$. Sedan kan vi splitta upp integralen i två, så att vi får ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}1dx-{\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\sin }^2\left(x\right)dx$, och eftersom ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\sin }^2\left(x\right)dx=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ blir integralens värde $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Däremot hur de får värdet av${\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\sin }^2\left(x\right)dx$ till $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, ja det är oklart. 

En bättre lösningsmetod: Dubbla vinkeln ger att ${\cos }^2\left(x\right)-{\sin }^2\left(x\right)=\cos \left(2x\right)$. Trigettan ger oss att ${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1$. Om vi summerar dessa likheter får vi:

$$\begin{gathered} \left({\cos }^2\left(x\right)-{\sin }^2\left(x\right)\right)+\left({\sin }^2(x\right)+{\cos }^2\left(x\right))=\cos (2x)+1 \\ 2{\cos }^2(x)=\cos (2x)+1 \end{gathered}$$

Nu kan vi skriva om ${\cos }^2\left(x\right)$ som $\frac{\cos \left(2v\right)+1}{2}$, som vi kan integrera med vanliga integrationsregler. :)

Hej,

Det stämmer att

    $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi} 1-\sin^2 x\,dx = \int_{0}^{\pi} 1\,dx - \int_{0}^{\pi}\sin^2 x \,dx = \pi - \int_{0}^{\pi} \sin^2 x\,dx.$

För att beräkna den återstående integralen kan identiteten $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ användas vilken ger 

    $\displaystyle 0=\int_{0}^{\pi} \cos 2x\,dx = \pi - 2\int_{0}^{\pi} \sin^2 x\,dx.$