Förenklingar av summa o produkt

Jag har en uppgift som ser ut såhär.

Förenkla

$a . \sum_{k = 1}^{n} x^{k} b . \prod_{k = 1}^{n} x^{k}$

a. har jag löst tack o lov, trots att jag fastnade långa minuter utan att kunna komma ihåg om det var en aritmetisk eller en geometrisk summa. Vad är det? Vi har ju en summa tecken... men också en exponent? Jag har läst igenom mina anteckningar men de verkar inte vara overens med sig själva...

b:an dock...

$\prod_{k = 1}^{n} x^{k} = x^{1} * x^{2} . . . x^{n}$

och därifrån är jag väldigt osäker. I faciten står det i exponenten en aritmetisk summa för n antal tal, jag menar $x^{\frac{1}{2} n (n + 1)}$ . Men är inte detta en produkt?

Jag känner att jag håller på att blanda ihopå allt igen, och det känns inte bra.

Summatecknet innebär att du plussar ihop alla termer. Den första termen är x, nästa x^2, x^3, osv.

På b är exponenten en aritmetisk summa. De utgår ifrån potensregeln som säger att $x^{a} \cdot x^{b} = x^{a + b}$ . Det gör att de kan skriva uttrycket som $x^{1 + 2 + . . . + n}$ . Talföljden $1 + 2 + . . . + n$ kan summeras med hjälp av formeln för en aritmetisk summa.

Det första (a) är en vanlig geometrisk summa med

$a_1= x$ (första termen) och $r = x$ (kvoten mellan två termer. Antalet termer är $n$ .

På (b) är det en produkt som kan förenklas enligt följande:

$x^1\cdot x^2\cdot ... \cdot x^n =$

$x^{1+2+...+n} =$

$x^{\frac{n(n+1)}{2}}$

Tackar!

Man har valt den grekiska bokstaven sigma $\sum_{}^{}$ för att namnet påminner om ordet summa.

Man har valt den grekiska bokstaven pi $\prod_{}$ för att den börjar likadant som ordet produkt.

Man har försökt underlätta för folk att komma ihåg vilket som är vilket, men det är ju inte säkert att din lärare har nämnt det, och det är (tycker jag åtminstone) för långsökt för att man skall kunna räkna med att folk kommer på det själva.

Svara Avbryt

Visa senaste svar