Förhållandet mellan diameter och höjd

elfens skrev :

Hej,

Uppskattar hjälp med uppgiften. Kommer ingenstans i princip. 

En aluminiumburk som har formen av en cylinder ska tillverkas. I burkens över- och underdel ska materialtjockleken vara det dubbla jämfört med mantelytan. Hur skall förhållandet mellan burkens diameter och höjd vara för att minimera materialkostnaden?

 

Cylinderns mantelarea är: $2\mathrm{\pi rh}$

Botten och topparean är: $2\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)=2\mathrm{\pi }2{\mathrm{r}}^2$

Den totala arean blir då: $2\mathrm{\pi rh} + 2\mathrm{\pi }2{\mathrm{r}}^2$

Jag antar att man ska bryta ut h eller? Men hur gör jag det och hur går jag vidare? 

 

Tack!

Är frågan i uppgiften felaktigt formulerad?
När diameter/höjd är så nära noll som möjligt, minimeras material-kostnaden...men det blir en liten burk :-)

Ska frågan vara:
Hur skall förhållandet mellan burkens diameter och höjd vara för att minimera materialkostnaden och maximera burkens volym?

Annars:

Cylinderns mantel-volym är: $t*2\pi rh$

Botten- och topp-volymen är: $2t*2*\pi r^2$

Jag tror inte att den är felformulerad. Skrev av uppgiften rätt iallafall.

Vad står t för?

Det du (så småningom) skall optimera är materialkostnaden, inte totala arean. Du har skrivit ett uttryck för materialkostnaden för topp och botten - men skriv inte att det är topp- och bottenarea!

Det du vill optimera är kvoten mellan burkens diameter och höjd, d v s sätt burkens höjd h till $h = \pi \cdot 2 r$ och optimera med avsikt på k.

elfens skrev :

Jag tror inte att den är felformulerad. Skrev av uppgiften rätt iallafall.

Vad står t för?

Med radie r och höjd h så blir:

• Mantelarean $2\pi rh$
• Lockets area $\pi r^2$
• Bottens area $\pi r^2$

Dvs sammanlagda arean för lock och botten är $2\pi r^2$. Du hade en faktor 2 för mycket där.

t är godstjockleken. Den multipliceras med areorna för att få fram den totala materialåtgången. Den är direkt proportionell mot materialkostnaden. Det är detta uttryck som ska minimeras.

För att kunna ta fram sambandet mellan r och h behöver du veta vad burkens inneslutna volym ska vara. Du får införa ett antagande att volymen är V. $V=\pi r^2h$.

Förlåt, förstår fortfarande inte vad det är jag ska göra. 

Är med på att den sammanlagda arean för lock och botten är $2{\mathrm{\pi r}}^2$ och inte det jag skrev tidigare. Förstår också att jag ska multiplicera t med areorna, vilket då blir: 

Mantel: $4t\mathrm{\pi rh}$

Lock: $2t{\mathrm{\pi r}}^2$

Botten: $2t{\mathrm{\pi r}}^2$

Men, hur gör jag nu? 

elfens skrev :

Förlåt, förstår fortfarande inte vad det är jag ska göra. 

Är med på att den sammanlagda arean för lock och botten är $2{\mathrm{\pi r}}^2$ och inte det jag skrev tidigare. Förstår också att jag ska multiplicera t med areorna, vilket då blir: 

Mantel: $4t\mathrm{\pi rh}$

Lock: $2t{\mathrm{\pi r}}^2$

Botten: $2t{\mathrm{\pi r}}^2$

Men, hur gör jag nu? 

Nu multiplicerade du mantelarean med 2t, inte med t.

Totala materialkostnaden K är

$K=2t\pi rh+4t\pi r^2=2\pi t\left(rh+2r^2\right)$

Volymen $V=\pi r^{2}h$, dvs $h=\frac{V}{\pi r^2}$

Om vi sätter in det i kostnadsfunktionen så får vi att

$K=K\left(r\right)=2\pi t\left(r\frac{V}{\pi r^2}+2r^2\right)=2\pi t\left(\frac{V}{\pi r}+2r^2\right)$

Detta är kostnaden K som funktion av radien r.

Denna kostnadsfunktion ska minimeras. 

Vilka metoder känner du till som är användbara då det gäller att hitta funktioners minpunkter?

Hur fick du bort r framför $\frac{V}{{\mathrm{\pi r}}^2}$ och ett r i nämnaren i:  $K\left(r\right) = 2\mathrm{\pi t} (\mathrm{r}\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 2{\mathrm{r}}^2) = 2\mathrm{\pi t} (\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{\pi r}}+2{\mathrm{r}}^2)$ ? 

I vanliga fall hade jag deriverat funktionen, satt K'(r) = 0, beräknat nollställena och sen studerat teckenbyten för att hitta eventuella minimi/maximipunkter eller använt mig av andraderivata. I och med att det finns flera okända variabler tror jag att jag deriverar fel: 

$K\text{'}\left(r\right) = 2(- \frac{1}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 4r) = - \frac{2}{{\mathrm{\pi r}}^2}+ 8r$

$-\frac{2}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 8r = 0$

elfens skrev :

Hur fick du bort r framför $\frac{V}{{\mathrm{\pi r}}^2}$ och ett r i nämnaren i:  $K\left(r\right) = 2\mathrm{\pi t} (\mathrm{r}\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 2{\mathrm{r}}^2) = 2\mathrm{\pi t} (\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{\pi r}}+2{\mathrm{r}}^2)$ ? 

Multiplicera upp r i täljaren, förkorta med ett av nämnarens r:

$r\frac{V}{\pi r^2}=\frac{rV}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi r}$.

 

I vanliga fall hade jag deriverat funktionen, satt K'(r) = 0, beräknat nollställena och sen studerat teckenbyten för att hitta eventuella minimi/maximipunkter eller använt mig av andraderivata. I och med att det finns flera okända variabler tror jag att jag deriverar fel: 

$K\text{'}\left(r\right) = 2(- \frac{1}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 4r) = - \frac{2}{{\mathrm{\pi r}}^2}+ 8r$

$-\frac{2}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 8r = 0$

Ja att derivera osv är en bra metod. Men det är endast $r$ som är en variabel. $\pi$, $V$ och $t$ är konstanter och påverkas inte av deriveringen.

Deriveringen blev inte helt rätt. Du har tappat bort faktorerna $\pi t$ framför parentesen och $V$ i täljaren, annars är det rätt.

Om derivatan är lika med noll så är parentesen lika med noll.

Sätt därför parentesen lika med noll, ersätt $V$ med $\pi r^2h$ och förenkla så har du hittat en relation mellan $r$ och $h$ som ger en extrempunkt.

Sista frågan nu: 

Om $K\text{'}\left(r\right) = 2\mathrm{\pi t}(-\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 4\mathrm{r}) \Rightarrow \mathrm{K}\text{'}\left(\mathrm{r}\right) = 2\mathrm{\pi t}(-\frac{{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 4\mathrm{r}) \Rightarrow \mathrm{K}\text{'}\left(\mathrm{r}\right) = 2\mathrm{\pi t}(-\mathrm{h}+4\mathrm{r})$

så är $-h = 4r \Rightarrow h=-4r$. Detta är då förhållandet mellan höjden och radien, eller? 

Uppgiften är ju att ta reda på förhållandet mellan höjden och diametern, vilket i så fall borde bli: 

$h = -8r$ ?

elfens skrev :

Sista frågan nu: 

Om $K\text{'}\left(r\right) = 2\mathrm{\pi t}(-\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 4\mathrm{r}) \Rightarrow \mathrm{K}\text{'}\left(\mathrm{r}\right) = 2\mathrm{\pi t}(-\frac{{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}}{{\mathrm{\pi r}}^2} + 4\mathrm{r}) \Rightarrow \mathrm{K}\text{'}\left(\mathrm{r}\right) = 2\mathrm{\pi t}(-\mathrm{h}+4\mathrm{r})$

så är $-h = 4r \Rightarrow h=-4r$. Detta är då förhållandet mellan höjden och radien, eller? 

Uppgiften är ju att ta reda på förhållandet mellan höjden och diametern, vilket i så fall borde bli: 

$h = -8r$ ?

Du tänker nog rätt men du räknar fel.

1. Du glömmer att skriva att det är K'(r) = 0 som ger dig förhållandet mellan r och h.
2. Du har inte rimlighetskontrollerat dina värden. Om radien till exempel är 5 cm, hur stor är då höjden?
3. Det stämmer att diametern d är 2r, men hur gick du egentligen från h = -4r till h = -8r helt plötsligt? 

Skulle precis redigera mitt svar: 

$K\text{'}r=o ger -h+4r=0$

$h=4r$

$d=2\times 4r=8r$

Alltså blir förhållandet mellan höjden och radien h=8r?

elfens skrev :

Skulle precis redigera mitt svar: 

$K\text{'}r=o ger -h+4r=0$

$h=4r$

$d=2\times 4r=8r$

Alltså blir förhållandet mellan höjden och radien h=8r?

Bra att du har fått rätt tecken nu.

Men du har fortfarande fått det där om diameter och radie om bakfoten.

Först skriver du att h = 4r, sedan skriver du att h = 8r.

---------------------

Så här ska det vara: h = 4r.

Eftersom 2r = d så är 4r = 2d, så det gäller alltså att h = 2d

------------------

Sedan bör du även visa att detta verkligen är en minimipunkt och inte en maximipunkt.

Jaha...

Hur visar jag att det är en minimipunkt? Anses det inte vara självklart eftersom om 2d är mindre så blir ju även h mindre och tvärtom

elfens skrev :

Jaha...

Hur visar jag att det är en minimipunkt? 

Du kan ju derivera igen och visa att andraderivatan K'' är positiv vid just det förhållandet mellan d och h. Det betyder att det var en minimipunkt.

Annars kan du jämföra värdet på K och visa att K blir större om du till exempel väljer h = d och h = 3d än om du väljer h = 2d.

Så 

$k\text{'}r =2\mathrm{\pi t}(-\mathrm{h}+4\mathrm{r}) \Rightarrow \mathrm{k}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{r}\right)=2\mathrm{\pi t}(-1+4)=6\mathrm{\pi t}$

$6\mathrm{\pi t}>0$ och är därmed en minimipunkt?

Förresten, tusen tack för all hjälp och förlåt för att jag har varit lite trög emellanåt.  

EDIT.