15 svar
1055 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 556
Postad: 17 feb 2019

Förkorta bråket så långt som möjligt

253+5x3+x23x3-53 ska förkortas så långt som möjligt.

Var ska man börja här?

Förlänga med nämnarens konjugat kanske?

Lisa Mårtensson skrev:

253+5x3+x23x3-53 ska förkortas så långt som möjligt.

Var ska man börja här?

Förlänga med nämnarens konjugat kanske?

 Verkar som en bra idé.

Lisa Mårtensson 556
Postad: 18 feb 2019

(253+5x3+x23)(x3+53)(x3-53)(x3+53)

Jag kan skriva om nämnaren till (x3)2-(53)2 enligt konjugatregeln.

Bör jag multiplicera ihop täljaren och ska jag i så fall bara multiplicera ihop vad som står under  rottecknen och använda distributiva lagen?

I så fall blir det i täljaren: 50x3+10x3+x33+1253,

men jag skulle vilja hitta något att bryta ut eller se om jag kan förkorta genom att ha samma faktor i täljare och nämnare som kan strykas. Jag hittar inget sådant.

Dessutom blir jag lite blockerad av att det är tredje rotenur. Men jag vet ju att 53=513. Kan det vara användbart på något sätt?

Det här var bedrövligt besvärliga siffror! jag tror att jag skulle göra substitutionerna a=53 och b=x3. Då blir uttrycket a2+ab+b2b-a\frac{a^2+ab+b^2}{b-a}. Jag skulle vilja ha en tvåa framför mitt-termen i täljaren, men så bra är det ju inte...

Smaragdalena skrev:

Det här var bedrövligt besvärliga siffror! jag tror att jag skulle göra substitutionerna a=53 och b=x3. Då blir uttrycket a2+ab+b2b-a\frac{a^2+ab+b^2}{b-a}. Jag skulle vilja ha en tvåa framför mitt-termen i täljaren, men så bra är det ju inte...

... och ett minustecken, så att täljarens mittersta term blev -2ab.

Laguna Online 4691
Postad: 18 feb 2019 Redigerad: 18 feb 2019

Man bör kunna göra det enklare för sig om man låter a = tredjeroten ur x, och b = tredjeroten ur 5. Då blir uttrycket (a^2+ab+b^2)/(a-b). Men jag ser inte hur man kan förkorta det. Man kan utföra divisionen och få en kvot och en rest.

Edit: nu hann Smaragdalena före. 

AlvinB Online 2895
Postad: 18 feb 2019

Med Smaragdalenas beteckningar kan man ju addera och subtrahera täljaren med 2ab2ab vilket låter en göra förenklingarna:

a2+ab+b2b-a=a2+ab+b2-2ab+2abb-a=b2-2ab+a2+3abb-a=(b-a)2+3abb-a=\dfrac{a^2+ab+b^2}{b-a}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab+2ab}{b-a}=\dfrac{b^2-2ab+a^2+3ab}{b-a}=\dfrac{(b-a)^2+3ab}{b-a}=

=(b-a)2b-a+3abb-a=b-a+3abb-a=\dfrac{(b-a)^2}{b-a}+\dfrac{3ab}{b-a}=b-a+\dfrac{3ab}{b-a}

vilket förvisso inte är så jättesnyggt, men det tror jag är det bästa man kan göra.

SvanteR 1519
Postad: 18 feb 2019

Men inget av detta är ju egentligen förkortningar av bråket? Är det helt säkert rätt avskrivet?

Lisa Mårtensson 556
Postad: 19 feb 2019 Redigerad: 19 feb 2019

Ja, det är rätt avskrivet men jag har missat att delge er hela uppgiften. Så här står det: 

Skriv om följande uttryck så att nämnaren inte innehåller något rotuttryck och bråket har förkortats så långt som möjligt.

253+5x3+x23x3-53=ABA=B=

Vad kan man göra för att få bort rotuttrycken ur nämnaren?

Lunatic0 26
Postad: 20 feb 2019

 Jag har fått    x3+253+3253x3-53    genom polynomdivision. Ändå vet jag inte om man kan förkorta ännu mer.

Laguna Online 4691
Postad: 20 feb 2019

Vi har nåntingb-aoch vill få nämnaren att innehålla bara trepotenser av a och b, för då har vi inga rottecken längre med de ursprungliga värdena. Då kan man tänka på ett tredjegradsuttryck som har b-a som faktor, och kommer på att b3-a3 är ett sådant. b3-a3 = (b-a)(a2+ab+b2), så om vi förlänger bråket med (a2+ab+b2) så får vi nånting×(a2+ab+b2)(b-a)(a2+ab+b2) = nånting×(a2+ab+b2)b3-a3

Lätt som en plätt. Nej, jag kom inte på det själv förrän idag.

Lisa Mårtensson 556
Postad: 20 feb 2019

Tack Laguna!!!

Smart :-)

Lisa Mårtensson 556
Postad: 20 feb 2019

Tack Laguna, smart :-)

Ja, om man får ha exponenten 3 efter tredje rotenur-uttrycken, så får man bort rottecknen i nämnaren!

Lisa Mårtensson 556
Postad: 20 feb 2019 Redigerad: 20 feb 2019

(253+5x3+x23)((53)2+(53·x3)+(x3)2)(x3)3-(53)3=(253+5x3+x23)2x-5

Tycker ni jag har gjort rätt så här långt och visst kan man väl förkorta mer än så här?

(2513+(5x)13+(x2)13)2x-5 Kan detta vara en väg att gå vidare om man vill förkorta och bli av med rottecken även i täljaren?

Jag vet att där jag ska fylla i svaret, där kan man inte skriva tredje rotenur, utan man får uttrycka det som upphöjt med 1/3.

Ursäkta att parenteserna ser lite konstiga ut :-)

Lisa Mårtensson 556
Postad: 21 feb 2019

(a2+ab+b2)2b3-a3

Jag ersätter a med 53 och b medx3. 

Klart!

Jag skulle inte börja multiplicera ihop några parenteser i täljaren, det var fel spår.

Albiki 3775
Postad: 22 feb 2019 Redigerad: 22 feb 2019

Konjugatregeln ger

    x-5=(253]x-5x3]5)·(x23+[3+[3)x-5 = (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{5})\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{5x}+\sqrt[3]{25})

vilket ska vara samma sak som

    x-5=(x1/3-51/3)·((x2)1/3+(5x)1/3+251/3)x-5=(x^{1/3}-5^{1/3})\cdot((x^2)^{1/3}+(5x)^{1/3}+25^{1/3})

vilket resulterar i att uttrycket kan förenklas till ... 

Det verkar som att man inte längre kan skriva kubikrötter som \sqrt[3]{x} längre. Jag skrev ovanstående text som 

    x-5 = (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{5})\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{5x}+\sqrt[3]{25})

och redigeringsprogrammet tycket att det skulle visas så som ni ser. Bra jobbat!

Svara Avbryt
Close