Formel för normalens ekvation till f(x) då x=a

Hej.

Jag skapade en formel för hur man kan beräkna normalens ekvation till funktionen f(x) i punkten där x=a. Jag tror att den stämmer för alla funktioner men jag vet inte hur jag ska kontrollera det, är det någon annan som vet? 

Formel: $y_n=f\left(a\right)+\frac{a-x}{f\text{'}\left(a\right)}$

Bevis:

Vi har funktionen $f(x)$ och ska finna normalens funktion till tangenten för f(x) där $x=a$.
Vi deriverar först funktionen och får då $f'(x)$. Tangentens lutning där $x=a$ är då $f'(a)$.

Vi kan nu få fram normalens lutning: $f\text{'}\left(a\right)·k_n=-1\Rightarrow k_n=\frac{-1}{f\text{'}\left(a\right)}$
Nu har vi kommit fram till: $y_n=-\frac{x}{f\text{'}\left(a\right)}+m$
Vi vet att normalen och tangenten har en gemensam koordinat, nämligen $(a,f(a))$
Då får vi: $f\left(a\right)=-\frac{a}{f\text{'}\left(a\right)}+m\Rightarrow m=f\left(a\right)+\frac{a}{f\text{'}\left(a\right)}$

Nu kan vi skriva den fullständiga funktionen för normalen: 
$y_n=\frac{-x}{f\text{'}\left(a\right)}+\frac{a}{f\text{'}\left(a\right)}+f\left(a\right)\Rightarrow y_n=f\left(a\right)+\frac{a-x}{f\text{'}\left(a\right)}$

Testa gärna, jag testade 1 eller 2 funktioner och det verkade stämma.