Formulera matematisk modell

i) Jag antar att de menar att $\overrightarrow{j} =-\kappa \nabla n$.

ii) Om vi kallar hela cylindern för C så har vi således 

$\frac{d}{dt}\underset{C}{\int }ndV= \underset{C}{\int }kndV+\underset{\partial C}{\oint }\overrightarrow{j}·d\overrightarrow{S}$.

Sedan måste det väl vara så att N = $\underset{C}{\int }ndV$.

PATENTERAMERA skrev:

i) Jag antar att de menar att $\overrightarrow{j} =-\kappa \nabla n$.

ii) Om vi kallar hela cylindern för C så har vi således 

$\frac{d}{dt}\underset{C}{\int }ndV= \underset{C}{\int }kndV+\underset{\partial C}{\oint }\overrightarrow{j}·d\overrightarrow{S}$.

Sedan måste det väl vara så att N = $\underset{C}{\int }ndV$.

om vi tar en fråga i taget så undrar jag varför formeln för i) är på det sättet du tog fram? 

Gradienten ger ju riktningen i vilket något växer snabbast. Så negativa gradienten ger riktningen för snabbaste minskningen.

PATENTERAMERA skrev:

Gradienten ger ju riktningen i vilket något växer snabbast. Så negativa gradienten ger riktningen för snabbaste minskningen.

Ja juste. Varför tas konstanten K med i detta formel? Räcker det inte med att teckna j=-nablaN ?

Det står proportionellt mot i texten så jag införde en proportionalitetskonstant.

PATENTERAMERA skrev:

Det står proportionellt mot i texten så jag införde en proportionalitetskonstant.

Är det inte så att beloppet av j ska vara proportionellt mot minskningen? Dvs |-nabla N| =-nabla N? Jag förstår inte hur konstanten bara kommer in.

$\left|\overrightarrow{j}\right| =k\left|-\nabla n\right|=k\left|\nabla n\right|$

PATENTERAMERA skrev:

$\left|\overrightarrow{j}\right| =k\left|-\nabla n\right|=k\left|\nabla n\right|$

Juste det brukar tillkomma en konstant k när man pratar om att något är proportionellt mot något annat.

Ja, precis.

PATENTERAMERA skrev:

i) Jag antar att de menar att $\overrightarrow{j} =-\kappa \nabla n$.

ii) Om vi kallar hela cylindern för C så har vi således 

$\frac{d}{dt}\underset{C}{\int }ndV= \underset{C}{\int }kndV+\underset{\partial C}{\oint }\overrightarrow{j}·d\overrightarrow{S}$.

Sedan måste det väl vara så att N = $\underset{C}{\int }ndV$.

Jag förstår ej ii) i alla fall inte vad C står för och varför du skriver j*dS ? Hur kan N=ndV?

C är hela cylindern. Du integrerar över hela cylindern. $\partial C$ är cylinderns randyta.

PATENTERAMERA skrev:

C är hela cylindern. Du integrerar över hela cylindern. $\partial C$ är cylinderns randyta.

Men det står ju att ändringen av antalet bakterier inom godtycklig V. Var kommer randyta och cylindern c  ifrån?

Precis, godtycklig volym, och då också speciellt för hela cylinderns volym.

Cylindern har förstås en randyta. Tänk dig en Coca-Cola-burk, den har förstås en randyta.

PATENTERAMERA skrev:

Är randytan "locket "på cylindern då?

Lock, botten och mantelyta.

PATENTERAMERA skrev:

Lock, botten och mantelyta.

Då är C cylinderns volym? Det står ju att flödet av j ut ur volymen , menar de då randytan när de säger ut ur volymen?

Ja, flödet är ytintegralen ut över randen. Det beskriver hur många bakterier per tidsenhet som lämnar volymen genom randytan. När jag tänker efter så bör det vara minustecken framför ytintegralen i #2.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, flödet är ytintegralen ut över randen. Det beskriver hur många bakterier per tidsenhet som lämnar volymen genom randytan. När jag tänker efter så bör det vara minustecken framför ytintegralen i #2.

Aa ok. Så det är svaret på ii?

ii) Ställer ingen fråga, vad jag kan se.

PATENTERAMERA skrev:

ii) Ställer ingen fråga, vad jag kan se.

Aa ok. Men iii) och iv) då?

iii) säger bara att $\overrightarrow{j}=0$ på $\partial C$. 

iv) ställer inte heller någon fråga.

Själva uppgiften står i sista stycket. Det finns ledning.

PATENTERAMERA skrev:

iii) säger bara att $\overrightarrow{j}=0$ på $\partial C$. 

iv) ställer inte heller någon fråga.

Själva uppgiften står i sista stycket. Det finns ledning.

Aa ok.