Första grads differentialekvation.

12paul123 skrev:

Bestäm den lösning till y' = ky för vilken y(1) = 2 och y(2) = 3

 

Jag ska beräkna C och k: 2 = Ce^k*1 och 3 = Ce^k*2 så sätter jag tillfälligt 2 = C alltså y(0) = 2 och y(1) = 3 så att

3 = 2e^k*1 och därefter ln(3/2) = ln(e)*k*1 = 0,4054 = k. Nu räknar jag y(1) = 2 så att 2 = Ce^0,4054*1

(2/e^0,4054) = 1,33342 = C och enligt facit stämmer det men jag är dock inte säker hur facit fick exakt C=4/3, jag tror att jag missar något.

Löste det jag räknade inte e^ln(3/2) och istället avrundade svaret. 

En ganska intressant metod är att använda Laplacetransformen, som är en speciell integral som gör om differentialekvationer till algebraiska ekvationer.
Den metoden är enormt kraftfull för linjära differentialekvationer, och jag skulle faktiskt rekommendera att du tar en titt på den.
Den kan verka en aning omständlig eftersom man använder stora tabeller för att hoppa fram och tillbaka mellan tid- och frekvensplanet, men den underlättar oerhört mycket när man väl har vant sig vid den.
Här har du en spellista om den transformen från Khan Academy, ifall du är intresserad:

https://www.youtube.com/watch?v=OiNh2DswFt4&list=PL6D8DCFEAF1A468DD

De första videoklippen handlar mest om att härleda en massa transformer;
han börjar använda metoden på riktiga differentialekvationer i den 7:e videon i spellistan.

12paul123 skrev:

12paul123 skrev:

Bestäm den lösning till y' = ky för vilken y(1) = 2 och y(2) = 3

 

Jag ska beräkna C och k: 2 = Ce^k*1 och 3 = Ce^k*2 så sätter jag tillfälligt 2 = C alltså y(0) = 2 och y(1) = 3 så att

3 = 2e^k*1 och därefter ln(3/2) = ln(e)*k*1 = 0,4054 = k. Nu räknar jag y(1) = 2 så att 2 = Ce^0,4054*1

(2/e^0,4054) = 1,33342 = C och enligt facit stämmer det men jag är dock inte säker hur facit fick exakt C=4/3, jag tror att jag missar något.

Löste det jag räknade inte e^ln(3/2) och istället avrundade svaret. 

Kom ihåg att e^ln(x)=x så e^ln(3/2)=3/2

Uppgiftens formulering indikerar att du vet att funktionerna $y(x)=Ce^{kx}$ löser differentialekvationen

    $y'(x)=ky(x).$

Det gäller bara att bestämma den specifika funktion vars graf i ett xy-koordinatsystem passerar genom de två punkterna $(1,2)$ och $(2,3)$.

• Grafen passerar genom punkten $(1,2)$:

        $2 = Ce^{k}\iff \ln 2 = k+\ln C.$

• Grafen passerar genom punkten $(2,3)$:

        $3=Ce^{2k}\iff \ln 3 = 2k+\ln C.$

Subtraktion ger

    $\ln(3/2)=k\iff k=e^{3/2}$

och substitution av detta resultat ger

    $\ln 2 = \ln(3/2)+\ln C\iff C=2/(3/2)=4/3.$

Redigering: Subtraktionen ska ge

    $\ln(3/2)=2k-k=k$

och inget annat.