Förståelse svängningsrörelse, stabilt jämviktsläge osv

Hej!

Detta är uppgift + lösning: 

Jag kommer rada upp lite saker jag inte förstår och saker jag bara behöver klargöra. 

• När vi löser för $\dot{\phi}$ och sätter in i första ekvationen får vi en rörelseekvation för $r$. Är grejen här att den är långt ifrån linjär men nära ett jämviktsläge kan vi approximera den som linjär? Hur ska jag tolka den ekvationen? Som en kraftekvation? 
• Vad är det vi konstaterat när han skriver $r=r_0=\frac{L^2}{m|k|}$? Förstår inte varför han vill bryta ut $r$ här. 
• Vad är det för kraft han syftar på när han vill utveckla kring den? Jag hittade sambandet $m\ddot{x}+F(x)=0$ där $\displaystyle F(x) = -V'(x) \approx -V''(x_0)(x-x_0) = - \Kappa (x-x_0)$. Låter han övriga termer helt enkelt vara $F(r)$?
• Därefter deriverar han. Hur då och map vadå? Det blir fel i tecknena om deriverar map $r$ och sätter $r=r_0$. 
• Hur tänker han när han skriver att $\dot{\phi}=\frac{mk^2}{L^3}$? Var får han det ifrån?
• Hur drar han avslutande slutsatser?

Ursäkta många frågor. Detta råkar vara den svåraste kursen på programmet. All svängningsrörelse drog han igenom på 2h. Det var inte lätt att hänga med.