Förstår inte förklaring i faciten

Det är lätt att missta sig och tro att ${\cos }^{-1}x$ är inversen till $\cos \left(x\right)$. Faktum är att cos(x) inte har en invers! Eftersom cosinus kan anta samma värde för olika argument (den är inte injektiv) så kan man inte invertera den!

Men det är så att om man begränsar domänen för cosinus till enbart $[0, \pi ]$ så blir cosinus injektiv och därmed kan vi finna en invers. Denna invers  för cosinus med domänen begränsad på detta sätt är vad man kallar för ${\cos }^{-1}x$.

Av denna anledning så kommer det endast att gälla att

${\cos }^{-1}\left(\cos x\right) =\hspace{0.17em}x$

på intervallet $[0, \pi ]$. Så när du beräknar exempelvis ${\cos }^{-1}\left(\cos \right(100\left)\right)$ så beräknar man först att $\cos \left(100\right)\hspace{0.17em}\approx -0.174$ sedan beräknar man ${\cos }^{-1}(-0.174)$, för att göra det så letar man efter det värde x som ligger i intervallet $[0, \pi ]$ som uppfyller att cos(x) = -0.174. Detta ger att ${\cos }^{-1}(-0.174)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1.745$, så alltså är ${\cos }^{-1}\left(\cos \right(100\left)\right) =\hspace{0.17em}1.745$.

Titta på inversfunktionen till f(x)=x^2. Den är endast definierad för positiva x. Det beror på att två x-värden kan leda till samma y, men ett x kan inte leda till två y. Tänk såhär: två vägar kan leda till samma plats, men en väg kan inte leda till två platser samtidigt. Det är den begränsning de gjort här. 

Om jag tolkar deras förklaring rätt menar de att de då måste hitta en lösning i detta intervall på 180 grader, och att den lösningen ligger då x=2,283. Testa att lösa cosx = cos4. Se om du kan hitta någon lösning som ger en lösning i rätt intervall. 

Tack till båda!

Jag börjar från början...

... jag tror det börjar att lysa i hjärna-mörker men måste nog fundera ett tag till...

En injektiv funktion är en funktion där varje element i värdemängden motsvaras av endast ett element i definitionsmängden. Det gäller alltså att om f(x1)=f(x2) måste x1 = x2. Funktionen x^2 är alltså inte injektiv eftersom både 2 och -2 leder till samma värde. Eftersom cos(pi)=cos(3pi) är sant är cosinusfunktionen inte injektiv. Det går därför inte omedelbart att köra funktionen baklänges, utan att begränsa värdemängdsintervallet. 

Ledsen för formatteringen. Jag är på resande fot igen. 

Ingen fara, jag förstår ju. Dig. Jag önskar att jag förstådd lika bra faciten :)

Men jag tror att jag börjar att förstå logiken.

Mellan 0 och pi har cosinus funktion antagit alla tillåtna värden så cos 4 kan inte gå högre än så men fortsätter följa sväningar på kurvan.

Så cos-1(cosx) var ingen invers, vilket chock!