Förstår inte hur emittansen ska användas i Stefan–Boltzmann

Fråga från boken:

I en 40 W halogenlampa har glödtråden längden 2,0 cm och diametern 0,4 mm. Beräkna glödtrådens temperatur om den har en emittans som är 70 % av en svart kropps.

Hur jag tänker:

M_e = P/A. Jag beräknade cylinderns area (mantelarea + dess två cirkulära bottnar).

M_elampa = 0.70 * M_e_svartkropp = 0.70 * P/A. När jag fick ett värde på lampans emittivitet användes den i formeln M_e = konstant * T⁴ => T = 2100 K. Enligt facit är svaret 2500 K.

Vad gör jag fel?

Vad fick du begränsningsytan på tråden till? Jag får det till

$\pi \cdot 0.0004 \cdot 0.02 \approx 2.51\cdot 10^{-5} m^2$ .

Jag tror man kan bortse från ändarna av tråden då de tillför väldigt lite i denna situation.

De värden som ingår i ekvationen borde vara $\varepsilon=0.7$ , Stefan-Boltzmann-konstanten $\sigma$ , arean $A$ , samt lampans effekt $P=40$ .

Då är

$T^4 = \frac{P}{\sigma\varepsilon A}$ .

Jag fick samma svar på arean. Varför stämmer inte min formel? Gjorde enligt facit också och endast då blev det rätt:

Svara