Förvirrad av rester, restgrupper, restsystem (talteori)
Hej allesammans!
Det är något som jag har svårt för att greppa med restgrupper och dylikt... Tänkte försöka reda ut det här lite grann..!
1. Restklasser (mod m) är samma sak som kongruensklasser (mod m). De är mängder som innehåller de heltal som sinsemellan är kongruenta (mod m). Det finns alltid m stycken restklasser och de kan tex representeras med "0, 1, ..., m-1"
2. Komplett restsystem (mod m) är en mängd tal som innehåller en representant från varje möjliga restklass.
3. Här blir jag mer förvirrad... Läraren har tex skrivit att om n=14 så är de inverterbara resterna/restgruppen {1, 3, 5, 9, 11, 13}. Innebär detta helt enkelt att man tittar bland möjliga rester som kan uppstå vid division med 14, och sen väljer man ut de som är inverterbara (mod 14) bland dom? Dvs alla som är relativt prima med 14. Eller är "restgrupp" ett mer specifikt begrepp än så?
Innebär detta helt enkelt att man tittar bland möjliga rester som kan uppstå vid division med 14, och sen väljer man ut de som är inverterbara (mod 14) bland dom?
Ja, de inverterbara resterna (restgruppen) är delmängden av alla inverterbara element i restsystemet.
Dvs alla som är relativt prima med 14.
Exakt. Ett tal är inverterbart modulo om och endast om och är relativt prima.
Eller är "restgrupp" ett mer specifikt begrepp än så?
Att din lärare skriver "restgrupp" har att göra med att de element i ett restsystem som är inverterbera under multiplikation bildar en matematisk struktur som kallas för grupp. En grupp är en mängd tillsammans med en operation (i detta fall multiplikation modulo 14) som uppfyller vissa egenskaper. Bland annat måste varje element i mängden vara inverterbart. Denna typ av grupp kallas för den multiplikativa gruppen av heltal modulo och brukar betecknas .
Gustor skrev:
Innebär detta helt enkelt att man tittar bland möjliga rester som kan uppstå vid division med 14, och sen väljer man ut de som är inverterbara (mod 14) bland dom?
Ja, de inverterbara resterna (restgruppen) är delmängden av alla inverterbara element i restsystemet.
Dvs alla som är relativt prima med 14.
Exakt. Ett tal är inverterbart modulo om och endast om och är relativt prima.
Eller är "restgrupp" ett mer specifikt begrepp än så?
Att din lärare skriver "restgrupp" har att göra med att de element i ett restsystem som är inverterbera under multiplikation bildar en matematisk struktur som kallas för grupp. En grupp är en mängd tillsammans med en operation (i detta fall multiplikation modulo 14) som uppfyller vissa egenskaper. Bland annat måste varje element i mängden vara inverterbart. Denna typ av grupp kallas för den multiplikativa gruppen av heltal modulo och brukar betecknas .
Tack för ditt svar! :)
