Förvirrad av två snarlika talteoretiska satser

Hej allesammans!

Jag har under kursen samlat på mig och förvirrats av... fyra snarlika formuleringar av teorem. Jag tror att jag nu har kokat ner dom till två olika teorem, där den första är Bezoutz identitet ala:

$O m a o c h b ä r p o s i t i v a h e l t a l, s å f i n n s d e t t v å h e l t a l u o c h v s å d a n a a t t a u + b v = S G D (a, b)$

Därefter har jag antecknat en annan sats:

$B e t r a k t a a x + b y = c . D e t m i n s t a c s o m g ö r a t t e k v a t i o n e n h a r h e l t a l s l ö s n i n g a r ä r S G D (a, b)$

Hade någon kunnat hjälpa mig att förstå skillnaden mellan dessa? För mig känns det som att sistnämnda är typ en starkare version av Bezoutz identitet, att man inte bara säger att det finns en lösning på ax+by=c, utan samtidigt också att det minsta c som finns är SGD(a,b)...?

Som du formulerat satserna, så kan man sammanfatta dem på följande sätt:

Givet två positiva heltal $a$ och $b$ , så behandlar båda satserna existens av heltalslösningar $x$ och $y$ till ekvationen $ax + by = c$ , där högerledet $c$ är ett positivt heltal.

Första satsen ger följande slutsats:
Om $c = SGD(a,b)$ , så finns det heltalslösningar $x$ och $y$ .

Andra satsen säger samma sak med följande tillägg:
Ekvationen saknar heltalslösningar ifall det positiva heltalet $c$ är mindre än $SGD(a,b)$ .

Den andra satsen är alltså en starkare variant av den första satsen.

LuMa07 skrev:
Som du formulerat satserna, så kan man sammanfatta dem på följande sätt:

Givet två positiva heltal $a$ och $b$ , så behandlar båda satserna existens av heltalslösningar $x$ och $y$ till ekvationen $ax + by = c$ , där högerledet $c$ är ett positivt heltal.

Första satsen ger följande slutsats:
Om $c = SGD(a,b)$ , så finns det heltalslösningar $x$ och $y$ .

Andra satsen säger samma sak med följande tillägg:
Ekvationen saknar heltalslösningar ifall det positiva heltalet $c$ är mindre än $SGD(a,b)$ .

Den andra satsen är alltså en starkare variant av den första satsen.

Ah, förstår... Tack för detta! Hjälpsamt att se någon annan formulera om båda två lite grann!

Om jag skulle sammanfatta satserna så känns det som att jag vill göra det på detta sätt..!

$O m a x + b y = S G D (a, b), s å f i n n s d e t h e l t a l x o c h y s o m l ö s e r e k v a t i o n e n, o c h S G D (a, b) ä r d e t m i n s t a t a l e t s o m g e r h e l t a l s l ö s n i n g a r$

(hade gärna hittat ett annat ord än "talet", men kom inte på något!)

Svara