Fourier och convergence (Matematik/Universitet/Övrigt)

Sätt in x = $5\pi$ . Vad blir f(x) då?

Edit: f(x) är ju två saker. Jag menade sätt in i serien, inte i 1-x².

Fourierserien s(x) har perioden 2pi. s(5pi) = s(pi + 4pi) = s(pi) = f(pi) = 1-(pi)². Inga hopp då f(-pi) = f(pi).

PATENTERAMERA skrev:
Fourierserien s(x) har perioden 2pi. s(5pi) = s(pi + 4pi) = s(pi) = f(pi) = 1-(pi)². Inga hopp då f(-pi) = f(pi).

Hur vet man att f(x) har perioden 2pi? Ok så man ska man bara stoppa in f(5pi)=1-(5pi)^2?

f är ju bara definierad på intervallet -pi till pi, vilket har längden 2pi. Fourierserien är så att säga en periodisk utvidgning av f till hela R.

Det finns satser som säger att, om vissa villkor är uppfyllda (kolla vad som står i er bok för jag kommer inte ihåg exakt hur villkoren ser ut), så konvergerar Fourierserien s(x) mot f(x) för x i intervallet -pi till pi.

Tillägg: 18 nov 2025 18:19

Obs f(5pi) är inte definierad. Men eftersom Fourierserien s(x) har perioden 2pi så gäller det att s(5pi) = s(pi + 4pi) = s(pi) = f(pi)=…

PATENTERAMERA skrev:
f är ju bara definierad på intervallet -pi till pi, vilket har längden 2pi. Fourierserien är så att säga en periodisk utvidgning av f till hela R.

Det finns satser som säger att, om vissa villkor är uppfyllda (kolla vad som står i er bok för jag kommer inte ihåg exakt hur villkoren ser ut), så konvergerar Fourierserien s(x) mot f(x) för x i intervallet -pi till pi.

Ja asså jag vet inte vilka satser du menar. Kan försöka leta upp det. Men om f har perioden 2pi så är det så att f(x+2pi)=f(x)?

Nej, f har inte perioden 2pi. Du har bara fått f definierad på -pi till pi. Det är Fourierserien som är periodisk. Den kan ses som en periodisk utvidgning av f till hela R.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
f är ju bara definierad på intervallet -pi till pi, vilket har längden 2pi. Fourierserien är så att säga en periodisk utvidgning av f till hela R.

Det finns satser som säger att, om vissa villkor är uppfyllda (kolla vad som står i er bok för jag kommer inte ihåg exakt hur villkoren ser ut), så konvergerar Fourierserien s(x) mot f(x) för x i intervallet -pi till pi.

Ja asså jag vet inte vilka satser du menar. Kan försöka leta upp det. Men om f har perioden 2pi så är det så att f(x+2pi)=f(x)?

Ja, leta upp satserna om konvergens.

PATENTERAMERA skrev:
Nej, f har inte perioden 2pi. Du har bara fått f definierad på -pi till pi. Det är Fourierserien som är periodisk. Den kan ses som en periodisk utvidgning av f till hela R.

Okej så vad är skillnaden mellan fourierserien som är 2pi periodisk och f som har perioden 2pi. Jag är lite förvirrad kring dessa två eller just det du nämner om denna uppgift.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
f är ju bara definierad på intervallet -pi till pi, vilket har längden 2pi. Fourierserien är så att säga en periodisk utvidgning av f till hela R.

Det finns satser som säger att, om vissa villkor är uppfyllda (kolla vad som står i er bok för jag kommer inte ihåg exakt hur villkoren ser ut), så konvergerar Fourierserien s(x) mot f(x) för x i intervallet -pi till pi.

Ja asså jag vet inte vilka satser du menar. Kan försöka leta upp det. Men om f har perioden 2pi så är det så att f(x+2pi)=f(x)?

Ja, leta upp satserna om konvergens.

Jag vet inte vilken sats av alla dessa ovan som är relevanta för uppgift 1b.

PATENTERAMERA skrev:

Jo jag förstår satsen. Men jag vet bara inte hur man ska göra för f(5pi) så att det matchar satsen.

Kan du visa vad som menas med E?

Du kan inte beräkna f(5pi) eftersom 5pi ligger utanför definitionsmängden för f.

Din Fourierserie, som jag kallar s(x), är dock definierad på hela R.

s(x) har perioden 2pi. Således gäller det att s(5pi) = s(pi + 4pi)= s(pi) och enligt satsen så gäller det att s(pi) = f(pi) = 1 - (pi)².

PATENTERAMERA skrev:
Kan du visa vad som menas med E?

Du kan inte beräkna f(5pi) eftersom 5pi ligger utanför definitionsmängden för f.

Din Fourierserie, som jag kallar s(x), är dock definierad på hela R.

s(x) har perioden 2pi. Således gäller det att s(5pi) = s(pi + 4pi)= s(pi) och enligt satsen så gäller det att s(pi) = f(pi) = 1 - (pi)².

Så jag ska stoppa in 5pi i serien som jag fått i a)

Nej, det vore dumt. Gör som jag visade i #14. Du får ut svaret genom att beräkna f(pi).

PATENTERAMERA skrev:
Nej, det vore dumt. Gör som jag visade i #14. Du får ut svaret genom att beräkna f(pi).

men jag förstår inte ditt sätt om jag ska vara helt ärlig. Sen är f(pi) inte samma sak som f(5pi) som du sa att jag kan inte beräkna.

Vad tappar vi dig?

PATENTERAMERA skrev:
Vad tappar vi dig?

Satsen säger ju inte direkt hur jag ska visa att f konvergerar för x=5pi och jag förstår inte riktigt hur man ska visa eller den metoden du gör. Jag ser inte samband mellan f(pi)=f(5pi)

Obs det hela går ut på att beräkna vilket värde som Fourierserien s(x) konvergerar mot då x = 5pi. Vi vill således beräkna s(5pi). Vi utnyttjar då att s är periodisk och inser att s(5pi) = s(pi). Sedan utnyttjar vi satsen i boken som säger att s(pi) = f(pi).

f(pi) är definierad eftersom pi ligger f:s definitionsmängd.

Från formeln för f får vi att f(pi) = 1-(pi)².

PATENTERAMERA skrev:
Obs det hela går ut på att beräkna vilket värde som Fourierserien s(x) konvergerar mot då x = 5pi. Vi vill således beräkna s(5pi). Vi utnyttjar då att s är periodisk och inser att s(5pi) = s(pi). Sedan utnyttjar vi satsen i boken som säger att s(pi) = f(pi).

f(pi) är definierad eftersom pi ligger f:s definitionsmängd.

Från formeln för f får vi att f(pi) = 1-(pi)².

Då har jag några frågor:

1) hur vet vi att s(x) är periodisk och är s(x)=f(x)?

2) vad menas med att s(x) är periodisk?

3)hur kan s(5pi)=s(pi) om man inte inser ? Satsen säger f(-pi)=f(pi).

4) varför är s(pi)=f(pi) och vad menar du med att satsen säger det? Jag förstår inte riktigt. Satsen säger f(-pi)=f(pi)

Med s(x) menar jag serien. Dvs

$s (x) = a_{0} / 2 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x))$ . Byt x mot x + 2pi och du får samma serie. s(x + 2pi) = s(x).

f är funktionen

f: $[- π, π] \to ℝ, x \mapsto f (x) = 1 - x^{2}$ .

Eftersom s(x) har perioden 2pi så gäller det att s(5pi) = s(pi).

Satsen säger att serien konvergerar mot f(x) för alla x i intervallet -pi till pi. Dvs s(pi) = f(pi). Se det som jag strukit under i boken.

PATENTERAMERA skrev:
Med s(x) menar jag serien. Dvs

$s (x) = a_{0} / 2 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x))$ . Byt x mot x + 2pi och du får samma serie. s(x + 2pi) = s(x).

f är funktionen

f: $[- π, π] \to ℝ, x \mapsto f (x) = 1 - x^{2}$ .

Eftersom s(x) har perioden 2pi så gäller det att s(5pi) = s(pi).

Satsen säger att serien konvergerar mot f(x) för alla x i intervallet -pi till pi. Dvs s(pi) = f(pi). Se det som jag strukit under i boken.

Jag ser att s(x)=s(x+2pi). Betyder det att s(x) är periodisk med 2pi? och hur kan likheten s(5pi) leda till s(pi) när man kan skriva s(5pi)=s(3pi+2pi)

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Med s(x) menar jag serien. Dvs

$s (x) = a_{0} / 2 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x))$ . Byt x mot x + 2pi och du får samma serie. s(x + 2pi) = s(x).

f är funktionen

f: $[- π, π] \to ℝ, x \mapsto f (x) = 1 - x^{2}$ .

Eftersom s(x) har perioden 2pi så gäller det att s(5pi) = s(pi).

Satsen säger att serien konvergerar mot f(x) för alla x i intervallet -pi till pi. Dvs s(pi) = f(pi). Se det som jag strukit under i boken.

Jag ser att s(x)=s(x+2pi). Betyder det att s(x) är periodisk med 2pi? och hur kan likheten s(5pi) leda till s(pi) när man kan skriva s(5pi)=s(3pi+2pi)

Ja, en funktion g har period T om g(x + T) = g(x) för alla x.

s(5pi) = s(pi + 2pi + 2pi) = s(pi + 2pi) = s(pi).

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Med s(x) menar jag serien. Dvs

$s (x) = a_{0} / 2 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x))$ . Byt x mot x + 2pi och du får samma serie. s(x + 2pi) = s(x).

f är funktionen

f: $[- π, π] \to ℝ, x \mapsto f (x) = 1 - x^{2}$ .

Eftersom s(x) har perioden 2pi så gäller det att s(5pi) = s(pi).

Satsen säger att serien konvergerar mot f(x) för alla x i intervallet -pi till pi. Dvs s(pi) = f(pi). Se det som jag strukit under i boken.

Jag ser att s(x)=s(x+2pi). Betyder det att s(x) är periodisk med 2pi? och hur kan likheten s(5pi) leda till s(pi) när man kan skriva s(5pi)=s(3pi+2pi)

Ja, en funktion g har period T om g(x + T) = g(x) för alla x.

s(5pi) = s(pi + 2pi + 2pi) = s(pi + 2pi) = s(pi).

Ok då förstår jag. så svaret är att s(5pi)=s(pi) och då är s(pi)=f(pi) så s(5pi)=f(pi)?

Och sedan stoppar du in x = pi i formeln för f (f(x) = 1 - x²).

PATENTERAMERA skrev:
Och sedan stoppar du in x = pi i formeln för f (f(x) = 1 - x²).

Yes ok.

Jag har fastnat lite på hur s(pi+2pi+pi)=s(pi+2pi)? Jag förstår att s(pi+2pi)=s(pi) pga g(x+2pi)=g(x) som nämnts innan.

Tillägg: 19 nov 2025 10:23

Eller det var inget. Jag förstår nu.