Fouriertransform av en styckvis funktion?

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^0 \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^1 \underbrace{f(x)}_{=1}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{1}^\infty \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^1 e^{-i\omega x}\,dx$

LuMa07 skrev:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^0 \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^1 \underbrace{f(x)}_{=1}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{1}^\infty \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^1 e^{-i\omega x}\,dx$

Tyvärr förstår jag inte varför man gör på det här sättet och varför man inte kan bara integrera från 0 till 1 då allt utanför dessa gränser ger bara 0?

Det är väl precis det man gör?

LuMa07 skrev:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^0 \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^1 \underbrace{f(x)}_{=1}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{1}^\infty \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^1 e^{-i\omega x}\,dx$

Ja efter en hel del integral uppdelningar. Men jag hade hoppat över dessa mellansteg och bara integrerat mellan 0 och 1 direkt. Antar att man kan göra så också?

Jag tycker det är tydligt nog att gå direkt mellan dessa två

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)e^{-i\omega x}dx = \int_0^1 e^{-i\omega x}dx$