Fouriertransform av en styckvis funktion?

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^0 \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^1 \underbrace{f(x)}_{=1}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{1}^\infty \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^1 e^{-i\omega x}\,dx$

LuMa07 skrev:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^0 \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^1 \underbrace{f(x)}_{=1}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{1}^\infty \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^1 e^{-i\omega x}\,dx$

Tyvärr förstår jag inte varför man gör på det här sättet och varför man inte kan bara integrera från 0 till 1 då allt utanför dessa gränser ger bara 0?

Det är väl precis det man gör?

LuMa07 skrev:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^0 \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^1 \underbrace{f(x)}_{=1}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{1}^\infty \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^1 e^{-i\omega x}\,dx$

Ja efter en hel del integral uppdelningar. Men jag hade hoppat över dessa mellansteg och bara integrerat mellan 0 och 1 direkt. Antar att man kan göra så också?

Jag tycker det är tydligt nog att gå direkt mellan dessa två

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)e^{-i\omega x}dx = \int_0^1 e^{-i\omega x}dx$

destiny99 skrev:

LuMa07 skrev:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^0 \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^1 \underbrace{f(x)}_{=1}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{1}^\infty \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^1 e^{-i\omega x}\,dx$

Ja efter en hel del integral uppdelningar. Men jag hade hoppat över dessa mellansteg och bara integrerat mellan 0 och 1 direkt. Antar att man kan göra så också?

LuMa07 ville ju visa varför man kan göra så direkt.

MrPotatohead skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

LuMa07 skrev:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^0 \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{0}^1 \underbrace{f(x)}_{=1}\,e^{-i\omega x}\,dx + \int_{1}^\infty \underbrace{f(x)}_{=0}\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^1 e^{-i\omega x}\,dx$

Ja efter en hel del integral uppdelningar. Men jag hade hoppat över dessa mellansteg och bara integrerat mellan 0 och 1 direkt. Antar att man kan göra så också?

LuMa07 ville ju visa varför man kan göra så direkt.

Jag håller inte med om att det anses vara att "visa "direkt. Jag fattar att man utnyttjar gränserna för f(x)=1 och f(x)=0 för att visa att det leder till samma sak.  Men hade f(x) varit nollskild så hade jag accepterat att man kan ta med dessa gränser och dela upp integralen på det sättet som den gör. Men att integrera direkt från 0 till 1 funkar utmärkt också. 

AlexMu skrev:

Jag tycker det är tydligt nog att gå direkt mellan dessa två

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)e^{-i\omega x}dx = \int_0^1 e^{-i\omega x}dx$

Tack!

I ursprungsinlägget skrev du att du kände till fouriertransformens definition, men visste inte hur man skulle tänka med gränserna.

Definitionen innehåller ju integralen över alla reella tal, så det är det som skall vara ens utgångspunkt. Är man erfaren med integraler av styckvis definierade funktioner, så går det verkligen utmärkt i denna konkreta uppgift att gå direkt från $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\ldots dx$ till $\displaystyle \int_0^1 \ldots dx$ utan de mellanled jag skrivit.

Å andra sidan bör man kunna motivera sin kalkyl. Hur förklarar man rigoröst att $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x} dx =\int_0^1 f\left(x\right)\,e^{-i\omega x} dx$ i denna uppgift? Vad händer bakom kulisserna? Handviftning är ju inget bevis. Det är viktigt att veta varför kalkylen funkar som den gör i sådana enkla uppgifter för att bli förberedd att senare kunna hantera mer invecklade integraler med styckvis definierade funktioner.

LuMa07 skrev:

I ursprungsinlägget skrev du att du kände till fouriertransformens definition, men visste inte hur man skulle tänka med gränserna.

Definitionen innehåller ju integralen över alla reella tal, så det är det som skall vara ens utgångspunkt. Är man erfaren med integraler av styckvis definierade funktioner, så går det verkligen utmärkt i denna konkreta uppgift att gå direkt från $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\ldots dx$ till $\displaystyle \int_0^1 \ldots dx$ utan de mellanled jag skrivit.

Å andra sidan bör man kunna motivera sin kalkyl. Hur förklarar man rigoröst att $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x} dx =\int_0^1 f\left(x\right)\,e^{-i\omega x} dx$ i denna uppgift? Vad händer bakom kulisserna? Handviftning är ju inget bevis. Det är viktigt att veta varför kalkylen funkar som den gör i sådana enkla uppgifter för att bli förberedd att senare kunna hantera mer invecklade integraler med styckvis definierade funktioner.

Ok då är jag med.  Ja precis det stämmer ! Jo på en tenta hade man kanske fått avdrag för att inte ha gjort de mellanled du gjorde om man bara hoppade direkt till integralen från 0 till 1.  Så långt tänkte jag inte på. My bad!  Som du säger definitionen gäller ju för integralen över alla reella tal.