fouriertransform av laplaceekvation
Känner mig förvirrad när det gäller att använda fouriertransformer för att lösa laplaceekvationer, som uppgiften nedan. Vart ska man liksom börja, hur ska man tänka och hur ska lösningsgången se ut? Finns det något konsekvent sätt att ta sig an sådana här uppgifter? Känns som att jag bara stöter på massa nya formler hela tiden när jag ser liknande uppgifter... Har fortfarande inte påbörjat min lösning till uppgiften nedan och vet inte heller vart jag ska börja heller. Skulle uppskatta all hjälp!
Uppgiften:
Det kanske hjälper att googla lite? Står det något som du inte känner till/har tänkt på under rubriken "Applications" på Fourier transform - Wikipedia. Testa att googla på "fourier transform to solve differential equations" eller liknande.
Uppgifter av den här typen bygger nästan alltid på att man identifierar differentialekvationen och drar sig till minnens några olika metoder man sett tidigare för att lösa just detta eller liknande problem.
I det här fallet handlar det om Dirichlet i halvplanet (Laplace ekvation i två dimensioner) och vi kan utnyttja ett knep och en lösningsgång enligt följande.
- Börja med att Fouriertransformera ekvationen i variabeln x (låtsas att y är en konstant)
- Lös den enkla ordinära differentialekvationen som uppstår
- Kan man stryka några termer med hänvisning till att lösningen ska vara begränsad?
- Utnyttja regeln för faltning "baklänges"
Trivia: du kommer få ett svar på formen , där är den såkallade Poissonkärnan. I fortsättningskurser i PDE kommer ni se det som derivatan av Greens funktion för Laplaceekvationen.
