Fouriertransform av xe^ipix

F($\mathrm{\pi }$) = $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-1}^{1}x{e}^{i\pi x}·e^{-i\pi x}dx=0$.

$\underset{\omega \to \mathrm{\pi }}{\lim }F\left(\omega \right)=?$

PATENTERAMERA skrev:

F($\mathrm{\pi }$) = $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-1}^{1}x{e}^{i\pi x}·e^{-i\pi x}dx=0$.

$\underset{\omega \to \mathrm{\pi }}{\lim }F\left(\omega \right)=?$

Jag tror inte jag är med på varför det blir 0. Om du följer min lösning verkar det inte vara så, isåfall får du visa vilka steg som är fel. Såhär får jag när jag omvandlar e^ix(pi-w) till cosinus och sinus. Man ska förstås förlänga med w-pi i båda täljare och nämnare för att det ska bli samma nämnare som sinustermen och det blir typ rätt svar enligt facit. Hur man dock resonerar gällande kontinuitet kring punkten w=pi vet jag inte eller om de vill att man använder en sats, jag ser att den inte verkar kontinuerlig då nämnaren inte är definierad och uttrycket går mot oändligheten, men man kanske resonerar på annat sätt när det kommer till fouriertransform?

$\mathrm{\omega }=\mathrm{\pi }$ blir ett specialfall. Din lösning fungerar inte för $\mathrm{\pi }$ eftersom du får division med noll om $\omega =\mathrm{\pi }$. Du får tillämpa definitionen och sätta in $\omega =\mathrm{\pi }$ redan från start.
$F\left(\mathrm{\pi }\right)={\int }_{-1}^{1}x{e}^{i\mathrm{\pi x}·}{e}^{-i\mathrm{\pi x}}dx={\int }_{-1}^{1}x{e}^{i\mathrm{\pi x}-\mathrm{i\pi x}}dx={\int }_{-1}^{1}x{e}^{0}dx={\int }_{-1}^{1}xdx=0.$

PATENTERAMERA skrev:

$\mathrm{\omega }=\mathrm{\pi }$ blir ett specialfall. Din lösning fungerar inte för $\mathrm{\pi }$ eftersom du får division med noll om $\omega =\mathrm{\pi }$. Du får tillämpa definitionen och sätta in $\omega =\mathrm{\pi }$ redan från start.
$F\left(\mathrm{\pi }\right)={\int }_{-1}^{1}x{e}^{i\mathrm{\pi x}·}{e}^{-i\mathrm{\pi x}}dx={\int }_{-1}^{1}x{e}^{i\mathrm{\pi x}-\mathrm{i\pi x}}dx={\int }_{-1}^{1}x{e}^{0}dx={\int }_{-1}^{1}xdx=0.$

Min lösning fungerar absolut då facit fick samma svar men löste på annat sätt. Däremot använde de en resonemang eller definition gällande w=>pi för F(w) som jag inte vet var de får ifrån. Så jag förstår inte varför du påstår att min lösning är fel? Nej vi ska inte sätta in w=pi för det är division med 0. Uppgiften behandlar två frågor vilket är att ta först fram fouriertransformen och sen undersöka om F(w) är kontinuerlig då w=>pi

Med din lösning så är fouriertransformen inte definierad för $\omega =\mathrm{\pi }$. Då blir frågan om kontinuitet meningslös eftersom man bara kan prata om kontinuitet i punkter där funktionen är definierad.

Hur ser facit ut?

PATENTERAMERA skrev:

Med din lösning så är fouriertransformen inte definierad för $\omega =\mathrm{\pi }$. Då blir frågan om kontinuitet meningslös eftersom man bara kan prata om kontinuitet i punkter där funktionen är definierad.

Hur ser facit ut?

Ja jag vet att den inte är definierad. Men vi fick i alla fall samma fouriertransform med olika metoder. Såhär gjorde de och svarade på kontinuitetsfrågan nedan. Jag vet inte vilken definition de använder sig av samt hur man ska tolka deras svar på frågan om F(w) är kontinuerlig i punkten w=pi. 

Men det står ju uttryckligen att formeln inte gäller då w = pi.

PATENTERAMERA skrev:

Men det står ju uttryckligen att formeln inte gäller då w = pi.

Ok så man ska skriva att fouriertransform man fått i sin lösning gäller för alla w utom w skild från pi? Men hur ska man då resonera med w=>pi F(w)? Vad är det för sats de använder sig av för att svara på kontinuitetfrågan?

För att den skall vara kontinuerlig så skall det gälla att

$\underset{\omega \to \mathrm{\pi }}{\lim }F\left(\omega \right)=F\left(\mathrm{\pi }\right)=0.$

$$\begin{gathered} \underset{\omega \to \mathrm{\pi }}{\lim }\frac{\left(\omega -\pi \right)\cos \left(\omega -\mathrm{\pi }\right)-\sin \left(\omega -\mathrm{\pi }\right)}{{\left(\omega -\mathrm{\pi }\right)}^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t\cos t-\sin t}{t^2}=\left(L\text{'}Hospital\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\cos t-t\sin t-\cos t}{2t}= \\ \underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{2}·\frac{\sin t}{t}=0. \end{gathered}$$

Så det gäller att transformen är kontinuerlig i pi.

Men facit använder någon känd sats istället för att visa det direkt.

PATENTERAMERA skrev:

För att den skall vara kontinuerlig så skall det gälla att

$\underset{\omega \to \mathrm{\pi }}{\lim }F\left(\omega \right)=F\left(\mathrm{\pi }\right)=0.$

$$\begin{gathered} \underset{\omega \to \mathrm{\pi }}{\lim }\frac{\left(\omega -\pi \right)\cos \left(\omega -\mathrm{\pi }\right)-\sin \left(\omega -\mathrm{\pi }\right)}{{\left(\omega -\mathrm{\pi }\right)}^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t\cos t-\sin t}{t^2}=\left(L\text{'}Hospital\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\cos t-t\sin t-\cos t}{2t}= \\ \underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{2}·\frac{\sin t}{t}=0. \end{gathered}$$

Så det gäller att transformen är kontinuerlig i pi.

Men facit använder någon känd sats istället för att visa det direkt.

Den här envarre metoden köper jag och håller med om att den är sann. Dock vet jag inte om man hade fått avdrag för att man använder den istället för denna kända sats som jag inte känner till och kan hitta i pinkus boken. Då visar man ju att F(w) är kontinuerlig eller inte i punkten w=pi. Man sparar dessutom tid på att använda kanske den där kända satsen direkt än L'hopital. Vill du påminna mig om varför t=>0 ? Jag förstår att du använde subtitution t=w-pi

Ja, om vi sätter t = w - pi så går t mot noll om och endast w går mot pi. Så vi kan byt w - pi mot t och låta t gå mot noll.

Satsen var inte känd för mig heller. Men man borde inte få fel om man har löst uppgiften.

Kontinuitet står i Theorem 3.1 på sid 94

LuMa07 skrev:

Kontinuitet står i Theorem 3.1 på sid 94

Ja jag hittade detta nedan. Så F(w) är styckvis kontinuerlig för alla w och även w=pi generellt som de försöker säga i #7? Det de säger är ju sant om man använder envarre metoden med kontinuitet o man visar som det gjordes i #10

PATENTERAMERA skrev:

Ja, om vi sätter t = w - pi så går t mot noll om och endast w går mot pi. Så vi kan byt w - pi mot t och låta t gå mot noll.

Ok då förstår jag!