Fouriertransform med initialvärdesproblem

Någon?

Tänk igenom vad fouriertransformen till xf’(x) skall bli?

PATENTERAMERA skrev:

Tänk igenom vad fouriertransformen till xf’(x) skall bli?

Ja det är ju det jag fastnade på. 

Jag skulle försöka använda F11 och F12.

PATENTERAMERA skrev:

Jag skulle försöka använda F11 och F12.

Hur då? Jag vet inte hur jag ska göra riktigt.  Om man sätter ihop allt enligt #1 så får jag typ såhär.

När du har fouriertransformerat så skall du inte längre ha kvar x som variabel. Det är en tydlig indikation om att något gått snett. Försök att kombinera F11 och F12.

PATENTERAMERA skrev:

När du har fouriertransformerat så skall du inte längre ha kvar x som variabel. Det är en tydlig indikation om att något gått snett. Försök att kombinera F11 och F12.

Aa ok. Tyvärr vet jag inte hur man ska kombinera eller jag förstår inte formlerna du har ringat in. Jag har fastnat på hur man ska göra rätt här. Jag försökte bara göra som jag påbörjat i #1

Jo, men det var fel transform av xf’(x). Du kan inte ha kvar x efter att du transformerat så du borde genast ha insett att något blivit fel.

Enligt F12 så får vi att xf’(x) = -ixf’(x)i = (F12) = $i\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)\right)$.

Enligt F11 så har du att $\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)=i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)$.

Kommer du vidare?

PATENTERAMERA skrev:

Jo, men det var fel transform av xf’(x). Du kan inte ha kvar x efter att du transformerat så du borde genast ha insett att något blivit fel.

Enligt F12 så får vi att xf’(x) = -ixf’(x)i = (F12) = $i\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)\right)$.

Enligt F11 så har du att $\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)=i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)$.

Kommer du vidare?

Nä jag hänger inte alls med nu.

Du får indikera tydligare var du tappar tråden.

PATENTERAMERA skrev:

Du får indikera tydligare var du tappar tråden.

Det handlar om xf'(x) som jag inte förstår mig på.

Ja, vi tittar i tabellen. De använder t istället för x, men det gör ju ingen skillnad.

Deras formel är (med x istället för t, n =1) -ixf(x) $\leftrightarrow$ $\frac{d\hat{f}\left(\omega \right)}{d\omega }=\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)\right)$.

Nu har vi istället xf'(x). Vi vill utnyttja tabellens formler så vi får vara lite kreativa. xf'(x) = -ixf'(x)/(-i)=-ixf'(x)i. Nu kan vi använda tabellen och får att (notera att vi har f' där tabellen har f).

xf'(x)$\leftrightarrow i\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)\right)$.

Sedan har vi ett uttryck för hur vi beräknar transformen av derivatan.

$f\text{'}\left(x\right)\leftrightarrow \mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)=i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)$.

Vi stoppar in detta i det som vi kom fram till tidigare

$xf\text{'}\left(x\right)\leftrightarrow i\frac{d}{d\omega }\left(i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)\right)=\left\{\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)=F\left(\omega \right)\right\}=-\left(F\left(\omega \right)+\omega F\text{'}\left(\omega \right)\right)$.

Kommer du vidare?

PATENTERAMERA skrev:

Ja, vi tittar i tabellen. De använder t istället för x, men det gör ju ingen skillnad.

Deras formel är (med x istället för t, n =1) -ixf(x) $\leftrightarrow$ $\frac{d\hat{f}\left(\omega \right)}{d\omega }=\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)\right)$.

Nu har vi istället xf'(x). Vi vill utnyttja tabellens formler så vi får vara lite kreativa. xf'(x) = -ixf'(x)/(-i)=-ixf'(x)i. Nu kan vi använda tabellen och får att (notera att vi har f' där tabellen har f).

xf'(x)$\leftrightarrow i\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)\right)$.

Sedan har vi ett uttryck för hur vi beräknar transformen av derivatan.

$f\text{'}\left(x\right)\leftrightarrow \mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)=i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)$.

Vi stoppar in detta i det som vi kom fram till tidigare

$xf\text{'}\left(x\right)\leftrightarrow i\frac{d}{d\omega }\left(i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)\right)=\left\{\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)=F\left(\omega \right)\right\}=-\left(F\left(\omega \right)+\omega F\text{'}\left(\omega \right)\right)$.

Kommer du vidare?

Jag är väldigt ny på det här så det är svårt att hänga med.

Hur långt hänger du med?

PATENTERAMERA skrev:

Hur långt hänger du med?

Jag är fast på hur xf'(x)

Vad menar du med fast på "hur xf'(x)"?

PATENTERAMERA skrev:

Vad menar du med fast på "hur xf'(x)"?

Jag  fastnade på hur man ska skriva om allt. Såhär säger chapgpt att man skall göra. Hur går jag vidare nu?

Ja, precis som jag sa. Utför derivatan. Vad får du då?

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis som jag sa. Utför derivatan. Vad får du då?

En sak som jag inte är med på är hur F{xf(x)}=id/dwF(w)?

Antar att det är pga detta

Jag använde bara tabellen. Man får titta i kursboken hur tabellens formler härleds eller i värsta fall härleda det själv.

Om du vill härleda det så tillämpa inversa fouriertransformen på iF'(w). Använd partialintegration och anta att F är tillräckligt snäll, tex går mot noll i positiva och negativa oändligheten.

PATENTERAMERA skrev:

Jag använde bara tabellen. Man får titta i kursboken hur tabellens formler härleds eller i värsta fall härleda det själv.

Om du vill härleda det så tillämpa inversa fouriertransformen på iF'(w). Använd partialintegration och anta att F är tillräckligt snäll, tex går mot noll i positiva och negativa oändligheten.

Ja okej. Men jag tror chats svar räcker på hur den härleds så jag förstår i det här fallet. Nu fick jag i alla fall F(w)=Ce^w^2/2, men hur bestämmer jag C?

Ja, det var ju ett litet trick där, men man kom ju fram till svaret.

Ja, om du nu utnyttjar allt som tagits fram, hur ser din differentialekvation ut efter att den fouriertransformerats?

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Jag använde bara tabellen. Man får titta i kursboken hur tabellens formler härleds eller i värsta fall härleda det själv.

Om du vill härleda det så tillämpa inversa fouriertransformen på iF'(w). Använd partialintegration och anta att F är tillräckligt snäll, tex går mot noll i positiva och negativa oändligheten.

Ja okej. Men jag tror chats svar räcker på hur den härleds så jag förstår i det här fallet. Nu fick jag i alla fall F(w)=Ce^w^2/2, men hur bestämmer jag C?

Du kan transformera tillbaka till x-planet. Dvs använda invers fouriertransform. Du kan även titta i tabeller om det finns någon lämplig formel.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, det var ju ett litet trick där, men man kom ju fram till svaret.

Ja, om du nu utnyttjar allt som tagits fram, hur ser din differentialekvation ut efter att den fouriertransformerats?

Den ser ut såhär. På slutet fick jag F(w)=Ce^w^2/2

Tror det blivit teckenfel någonstans. Borde det inte vara -w².

PATENTERAMERA skrev:

Tror det blivit teckenfel någonstans. Borde det inte vara -w².

Ja det är sant.

Hur bestämmer man konstanten C här?

Först beräkna inversen. Går att använda tabell. Sedan utnyttja begynnelsevärden. f(0) = 1.

PATENTERAMERA skrev:

Först beräkna inversen. Går att använda tabell. Sedan utnyttja begynnelsevärden. f(0) = 1.

Varför ska man använda invers? Kan man inte göra på annat sätt? De här uppgifterna är innan man kommit in på inverstransform. 

Du har fått fram vad F(w) blir men du vill komma tillbaka till f(x) för att kunna utnyttja begynnelsevärdena. Och det är ju f(x) som vi är ute efter att hitta. Fouriertransformen är ju bara att verktyg som vi använder här.

PATENTERAMERA skrev:

Du har fått fram vad F(w) blir men du vill komma tillbaka till f(x) för att kunna utnyttja begynnelsevärdena. Och det är ju f(x) som vi är ute efter att hitta. Fouriertransformen är ju bara att verktyg som vi använder här.

Ok , så hur går vi tillbaka till f(x) för att använda oss av BV?

Utnyttja tabellen formel F27. A = 1/2.

PATENTERAMERA skrev:

Utnyttja tabellen formel F27. A = 1/2.

Vi har inte en enda tabell i den kursen som har med fouriertransform att göra och formlerna kopplade till fouriertransform kommer bara ges på tentamen om några veckor. Jag måste nästan kolla upp hur mycket man behöver kunna eller härleda själv. Det är sorgligt att inte utnyttja de här tabellerna. 

Ja, det var konstigt. Då vet jag inte hur det är tänkt att man skall göra om man inte får använda inverstransform och inte heller tabeller.

Någon som har en idé om hur man kan göra?

PATENTERAMERA skrev:

Ja, det var konstigt. Då vet jag inte hur det är tänkt att man skall göra om man inte får använda inverstransform och inte heller tabeller.

Någon som har en idé om hur man kan göra?

Jag får återkomma vad som gäller som sagt. Är osäker justnu. 

PATENTERAMERA skrev:

Utnyttja tabellen formel F27. A = 1/2.

så f(x) är alltså 1/sqrt(2pi)*e^-x^2/2. Vi vet att F(w)= Ce^-w^2/2

Du bör ha med konstanten C också.

PATENTERAMERA skrev:

Du bör ha med konstanten C också.

Var?

Du skall multiplicera med C på x-sidan också förstås.

PATENTERAMERA skrev:

Du skall multiplicera med C på x-sidan också förstås.

Förstår ej

Du har en faktor C på fouriersidan då hänger den med på x-sidan.

PATENTERAMERA skrev:

Du har en faktor C på fouriersidan då hänger den med på x-sidan.

I tabellen #31 är C=1 

Om G(w) <-> g(x) så gäller det att CG(w) <-> Cg(x)

PATENTERAMERA skrev:

Om G(w) <-> g(x) så gäller det att CG(w) <-> Cg(x)

Aa ok. Då är jag med. Så vi får C/sqrt(2pi)*e^-x^2/2

Och vad gäller för C om f(0) = 1.

PATENTERAMERA skrev:

Och vad gäller för C om f(0) = 1.

C blir väl sqrt(2pi). Således blir F(w)=sqrt(2pi)e^{-w^2/2}