Fouriertransform med initialvärdesproblem

Någon?

Tänk igenom vad fouriertransformen till xf’(x) skall bli?

PATENTERAMERA skrev:

Tänk igenom vad fouriertransformen till xf’(x) skall bli?

Ja det är ju det jag fastnade på. 

Jag skulle försöka använda F11 och F12.

PATENTERAMERA skrev:

Jag skulle försöka använda F11 och F12.

Hur då? Jag vet inte hur jag ska göra riktigt.  Om man sätter ihop allt enligt #1 så får jag typ såhär.

När du har fouriertransformerat så skall du inte längre ha kvar x som variabel. Det är en tydlig indikation om att något gått snett. Försök att kombinera F11 och F12.

PATENTERAMERA skrev:

När du har fouriertransformerat så skall du inte längre ha kvar x som variabel. Det är en tydlig indikation om att något gått snett. Försök att kombinera F11 och F12.

Aa ok. Tyvärr vet jag inte hur man ska kombinera eller jag förstår inte formlerna du har ringat in. Jag har fastnat på hur man ska göra rätt här. Jag försökte bara göra som jag påbörjat i #1

Jo, men det var fel transform av xf’(x). Du kan inte ha kvar x efter att du transformerat så du borde genast ha insett att något blivit fel.

Enligt F12 så får vi att xf’(x) = -ixf’(x)i = (F12) = $i\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)\right)$.

Enligt F11 så har du att $\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)=i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)$.

Kommer du vidare?

PATENTERAMERA skrev:

Jo, men det var fel transform av xf’(x). Du kan inte ha kvar x efter att du transformerat så du borde genast ha insett att något blivit fel.

Enligt F12 så får vi att xf’(x) = -ixf’(x)i = (F12) = $i\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)\right)$.

Enligt F11 så har du att $\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)=i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)$.

Kommer du vidare?

Nä jag hänger inte alls med nu.

Du får indikera tydligare var du tappar tråden.

PATENTERAMERA skrev:

Du får indikera tydligare var du tappar tråden.

Det handlar om xf'(x) som jag inte förstår mig på.

Ja, vi tittar i tabellen. De använder t istället för x, men det gör ju ingen skillnad.

Deras formel är (med x istället för t, n =1) -ixf(x) $\leftrightarrow$ $\frac{d\hat{f}\left(\omega \right)}{d\omega }=\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)\right)$.

Nu har vi istället xf'(x). Vi vill utnyttja tabellens formler så vi får vara lite kreativa. xf'(x) = -ixf'(x)/(-i)=-ixf'(x)i. Nu kan vi använda tabellen och får att (notera att vi har f' där tabellen har f).

xf'(x)$\leftrightarrow i\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)\right)$.

Sedan har vi ett uttryck för hur vi beräknar transformen av derivatan.

$f\text{'}\left(x\right)\leftrightarrow \mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)=i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)$.

Vi stoppar in detta i det som vi kom fram till tidigare

$xf\text{'}\left(x\right)\leftrightarrow i\frac{d}{d\omega }\left(i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)\right)=\left\{\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)=F\left(\omega \right)\right\}=-\left(F\left(\omega \right)+\omega F\text{'}\left(\omega \right)\right)$.

Kommer du vidare?

PATENTERAMERA skrev:

Ja, vi tittar i tabellen. De använder t istället för x, men det gör ju ingen skillnad.

Deras formel är (med x istället för t, n =1) -ixf(x) $\leftrightarrow$ $\frac{d\hat{f}\left(\omega \right)}{d\omega }=\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)\right)$.

Nu har vi istället xf'(x). Vi vill utnyttja tabellens formler så vi får vara lite kreativa. xf'(x) = -ixf'(x)/(-i)=-ixf'(x)i. Nu kan vi använda tabellen och får att (notera att vi har f' där tabellen har f).

xf'(x)$\leftrightarrow i\frac{d}{d\omega }\left(\mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)\right)$.

Sedan har vi ett uttryck för hur vi beräknar transformen av derivatan.

$f\text{'}\left(x\right)\leftrightarrow \mathcal{F}\left[f\text{'}\right]\left(\omega \right)=i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)$.

Vi stoppar in detta i det som vi kom fram till tidigare

$xf\text{'}\left(x\right)\leftrightarrow i\frac{d}{d\omega }\left(i\omega \mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)\right)=\left\{\mathcal{F}\left[f\right]\left(\omega \right)=F\left(\omega \right)\right\}=-\left(F\left(\omega \right)+\omega F\text{'}\left(\omega \right)\right)$.

Kommer du vidare?

Jag är väldigt ny på det här så det är svårt att hänga med.

Hur långt hänger du med?

PATENTERAMERA skrev:

Hur långt hänger du med?

Jag är fast på hur xf'(x)

Vad menar du med fast på "hur xf'(x)"?

PATENTERAMERA skrev:

Vad menar du med fast på "hur xf'(x)"?

Jag  fastnade på hur man ska skriva om allt. Såhär säger chapgpt att man skall göra. Hur går jag vidare nu?

Ja, precis som jag sa. Utför derivatan. Vad får du då?

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis som jag sa. Utför derivatan. Vad får du då?

En sak som jag inte är med på är hur F{xf(x)}=id/dwF(w)?

Antar att det är pga detta