Fouriertransformen av g(x)

Vad fick du på a) och b)? Det är tänkt att du skall använda resultaten på c).

PATENTERAMERA skrev:

Vad fick du på a) och b)? Det är tänkt att du skall använda resultaten på c).

a) är ju definitionen vilket anges i boken. Men b) fick jag( 2-2cosw)/w^2. Ja men jag vet inte hur man ska använda resultaten i b). Nu har jag inte svarat på a) , men svaret på a) är väl detta nedan. Men jag vet inte om det räcker bara att säga att ange F^-1[F(w)](x) stycket eller om man ska inkludera hela texten nedan.

Det sökta är fouriertransformen $g$, alltså $\displaystyle \hat g\left(\omega\right)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{1-\cos x}{x^2}e^{-i\omega x}dx$

Om du inverterar resultatet från b) har du en liknande integral som du redan vet värdet på ($f$). Kan du därifrån lösa ut för integralen vi söker? 

AlexMu skrev:

Det sökta är fouriertransformen av $g$, $\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{1-\cos x}{x^2}e^{-i\omega x}dx$

Om du inverterar resultatet från b) har du en liknande integral som du redan vet värdet på ($f$). Kan du därifrån lösa ut för integralen vi söker? 

Hm hur fick du den där integralen ovan? Använde du definitionen eller? Invers fouriertransform  har ingen faktor 1/2pi framför integranden och det skall vara e^iwx och inte e^-iwx.

Det är bara fouriertransformen av $g$. Min poäng att att inversen av resultatet du fick fram i b) kommer vara en liknande integral till fouriertransformen av $g$. 

AlexMu skrev:

Det är bara fouriertransformen av $g$. Min poäng att att inversen av resultatet du fick fram i b) kommer vara en liknande integral till fouriertransformen av $g$. 

Ok. Om jag förstår dig rätt så menar du att invers transformen i b) kommer ge en integral som liknar fouriertransformen av g(w)? Men vi vet inte ens vad fourietransformen av g(w) är.

Jag har fått detta nu. Obs det ska vara dw

Någon?

Du kan väl utnyttja formeln i boken. Att beräkna Fouriertransformen av något som du vet är Fouriertransformen av någonting blir enkelt. Du bör utnyttja vad du fick på b).

PATENTERAMERA skrev:

Du kan väl utnyttja formeln i boken. Att beräkna Fouriertransformen av något som du vet är Fouriertransformen av någonting blir enkelt. Du bör utnyttja vad du fick på b).

Ok. Men jag ser inte hur b) uppgiften kan utnyttjas för att svara på c) uppgiften. Har fortfarande kört fast på detta. Om man tar fouriertransformen av det vi fått i b) är man väl tillbaka till styckvis funktionen som uppgiften i b) började med eller tänker jag fel?

Vad fick du på b)? Jag antar att den transformen var snarlik det som du skall Fouriertransformera i c). Så du kan se det som en transform av en transform och utnyttja formeln i boken.

PATENTERAMERA skrev:

Vad fick du på b)? Jag antar att den transformen var snarlik det som du skall Fouriertransformera i c). Så du kan se det som en transform av en transform och utnyttja formeln i boken.

jag fick uttrycket framför e^iwx i #8. Jag vet inte hur jag ska se som en transform av en transform? 

Du skall Fouriertransformera g(x) = (1-cosx)/x².

g(x) = $ℱ\left[f\right]\left(x\right)$. Är det vad du kom fram till i b)? Eller har du missat en konstant faktor eller så?

Vi har då att

$ℱ\left[g\right]\left(x\right)=ℱ\left[ℱ\left[f\right]\right]\left(x\right)=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}f\left(-x\right)=\left\{jämn funktion\right\}=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}f\left(x\right)$.

PATENTERAMERA skrev:

Du skall Fouriertransformera g(x) = (1-cosx)/x².

g(x) = $ℱ\left[f\right]\left(x\right)$. Är det vad du kom fram till i b)? Eller har du missat en konstant faktor eller så?

Vi har då att

$ℱ\left[g\right]\left(x\right)=ℱ\left[ℱ\left[f\right]\right]\left(x\right)=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}f\left(-x\right)=\left\{jämn funktion\right\}=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}f\left(x\right)$.

Här är hela min lösning i b) uppgiften. Jag förstår inte varför du sätter g(x)=F[f](x)?

Var tog 1/2pi vägen. Hur försvann tvåorna på sista raden?

PATENTERAMERA skrev:

Var tog 1/2pi vägen. Hur försvann tvåorna på sista raden?

Juste jag glömde att ta med 1/2pi hela vägen. Om man tar med den så får man till slut (1-cos(w))/pi*w^2

OK. Nu kan du utnyttja det för beräkna c).

g(x) = $\frac{1}{\mathrm{\pi }}ℱ\left[f\right]\left(x\right)$.

Kommer du vidare?

PATENTERAMERA skrev:

OK. Nu kan du utnyttja det för beräkna c).

g(x) = $\frac{1}{\mathrm{\pi }}ℱ\left[f\right]\left(x\right)$.

Kommer du vidare?

Jag hänger inte med på hur du får g(x)=1/pi*F[f](x).Vill du förklara hur du kommer på detta? Uppgiften vill att vi hittar fouriertransformen av g(x).

. $$\begin{gathered} ℱ\left[f\right]\left(x\right)=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{\mathrm{\pi }}g\left(x\right)\Rightarrow g\left(x\right)=\mathrm{\pi }\mathcal{F}\left[f\right]\left(x\right) \\ ℱ\left[g\right]\left(x\right)=ℱ\left[\mathrm{\pi }ℱ\left[f\right]\right]\left(x\right)=\mathrm{\pi }\mathcal{F}\left[ℱ\left[f\right]\right]\left(x\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}f\left(-x\right)=\frac{1}{2}f\left(x\right) \end{gathered}$$
Här har vi utnyttjat

PATENTERAMERA skrev:

. $$\begin{gathered} ℱ\left[f\right]\left(x\right)=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{\mathrm{\pi }}g\left(x\right)\Rightarrow g\left(x\right)=\mathrm{\pi }\mathcal{F}\left[f\right]\left(x\right) \\ ℱ\left[g\right]\left(x\right)=ℱ\left[\mathrm{\pi }ℱ\left[f\right]\right]\left(x\right)=\mathrm{\pi }\mathcal{F}\left[ℱ\left[f\right]\right]\left(x\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}f\left(-x\right)=\frac{1}{2}f\left(x\right) \end{gathered}$$
Här har vi utnyttjat

Men hur kan 1/pi(1-cosx)/x^2=1/pi*(1-cosw/w^2)? I b) uppgiften hade vi F[f](w) så du har bara skrivit x som argument eller?

Ja, du kan ju kalla argumentet för x istället för w, det är ju bara ett variabelnamn, du kan ju välja det som du vill.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, du kan ju kalla argumentet för x istället för w, det är ju bara ett variabelnamn, du kan ju välja det som du vill.

Ah ok. Det är nämligen så att man har dx när man tar fouriertransform och dw när man invers transformerar och då antar jag att det här gäller F[f](x) och F^-1[F](w)?

Så f(x) blir då {2(1-|x| för |x|<=1 och 0 för |x|>1?

f(x) har du definierad i frågan.

PATENTERAMERA skrev:

f(x) har du definierad i frågan.

Ja ,men vi har faktor 1/2 framför nu för g

Ja. Det är väl inget problem.

PATENTERAMERA skrev:

Ja. Det är väl inget problem.

Jag menar en faktor 1/2 framför f(x). Men då blir svaret på f(x) samma som i uppgiften fast med en 1/2 framför.