Fråga 22 MAFY 2016

Man kanske kan tänka som följande:

• Om $a>1$ är ekvationen en andragradsekvation och har två positiva lösningar.
• Om $a=1$ förenklas ekvationen till $(1-1)x^2 -x + 1 = 0 \iff -x + 1 = 0$, det vill säga en linjär (förstagrads)ekvation. I detta fall har ekvationen en enda positiv lösning $x=1$. Påståendet "ekvationens alla lösningar är positiva" är dock fortfarande sant för $a=1$.
• Om $a<1$ är ekvationen en andragradsekvation som inte har två positiva lösningar.
• Alla heltal $a=1,2,3,\dots$ ger alltså att ekvationens alla lösningar är positiva. Det minsta heltalet som uppfyller kriteriet är därför $a=1$.

Alternativt kanske man kan resonera så här:

• För alla $a$ utom $a=1$ är ekvationen en andragradsekvation. I detta fall kan vi lista ut att $a>1$ måste gälla för att båda lösningarna ska vara positiva. (Det finns alltid två reella lösningar eftersom diskriminanten alltid är $\geq 0$.)
• För att ha undersökt alla heltalsvärden $a$ kan ha måste vi även undersöka vad som händer när $a=1$. Då ser vi att vi får en linjär ekvation (eftersom koefficienten för $x^2$ blir noll) med en enda positiv lösning, som uppfyller kriteriet.
• Eftersom uppgiften frågar efter det minsta heltalet $a$ sådant att kriteriet är uppfyllt, så är svaret $a=1$.

Balkongkalson skrev:

Hur kommer det sig att svaret blir a=1?


Enligt mina lösningar ska a>1. Nästa heltal blir då 2? 

Kan du visa hur du gjorde på första delen av uppgiften, dvs att lösa ekvationen?