Fråga 29 2017

Hej!

Det går att lösa denna med cosinussatsen, men det blir lite snårigt (som du märkt).

Ett snabbt tips kan du dock få direkt.

Här skulle jag nyttja den trigonometriska identiteten för dubbla vinkeln:

cos(2x)=1-2sin²(x)

Det ger dig 2sin²(l) innanför parentesen och helt plötsligt kan du dra roten ur allting.

Jag bjuder även på ett annat lösningsförslag eftersom trianglarna är rätvinkliga. 

sictransit skrev:

Hej!

Det går att lösa denna med cosinussatsen, men det blir lite snårigt (som du märkt).

Ett snabbt tips kan du dock få direkt.

Här skulle jag nyttja den trigonometriska identiteten för dubbla vinkeln:

cos(2x)=1-2sin²(x)

Det ger dig 2sin²(l) innanför parentesen och helt plötsligt kan du dra roten ur allting.

Jag bjuder även på ett annat lösningsförslag eftersom trianglarna är rätvinkliga. 

Visa spoiler

Jag skulle försöka nyttja enklare trigonometriska samband, eftersom vi har lyxen att ha rätvinkliga trianglar. 

$\sin \phi =\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$AC$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{a} \mathrm{samt} \cos \phi =\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$BD$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{a}$

Stuva om och summera:

$$\begin{gathered} \sin \phi =\frac{{\displaystyle AC}}{2a} \\ AC=2a\times \sin \phi \\ BD=2a\times \cos \phi [\mathrm{på} \mathrm{samma} \mathrm{sätt}] \\ \mathrm{AC}+\mathrm{BD}=2\mathrm{a}\times \sin \phi +2\mathrm{a}\times \cos \phi =\mathbf{2}\mathbf{a}\mathbf{(}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\phi }\mathbf{+}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\phi }\mathbf{)} \end{gathered}$$ 

Undrar om det står något om romben i deras formelhäfte.

sictransit skrev:

Hej!

Det går att lösa denna med cosinussatsen, men det blir lite snårigt (som du märkt).

Ett snabbt tips kan du dock få direkt.

Här skulle jag nyttja den trigonometriska identiteten för dubbla vinkeln:

cos(2x)=1-2sin²(x)

Det ger dig 2sin²(l) innanför parentesen och helt plötsligt kan du dra roten ur allting.

Jag bjuder även på ett annat lösningsförslag eftersom trianglarna är rätvinkliga. 

Visa spoiler

Jag skulle försöka nyttja enklare trigonometriska samband, eftersom vi har lyxen att ha rätvinkliga trianglar. 

$\sin \phi =\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$AC$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{a} \mathrm{samt} \cos \phi =\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$BD$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{a}$

Stuva om och summera:

$$\begin{gathered} \sin \phi =\frac{{\displaystyle AC}}{2a} \\ AC=2a\times \sin \phi \\ BD=2a\times \cos \phi [\mathrm{på} \mathrm{samma} \mathrm{sätt}] \\ \mathrm{AC}+\mathrm{BD}=2\mathrm{a}\times \sin \phi +2\mathrm{a}\times \cos \phi =\mathbf{2}\mathbf{a}\mathbf{(}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\phi }\mathbf{+}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\phi }\mathbf{)} \end{gathered}$$ 

När jag först gjorde uppgiften, så gjorde jag faktiskt som dig. Exakt samma när du tog fram AC/2, men sen tog jag fram BD/2 genom pythagoras sats där a var hypotenusan.  Så därför fick jag ett roten ur uttryck men endast med kända variabler, som gav mig summan 2a(sin(phi)+sqrt(1-sin(phi)^2)). Men eftersom det inte såg ut som facit, tänkte jag att det var fel. Men egentligen är det ju rätt, fast skriver på ett annat sätt. Tror ni jag hade fått rätt för det? 

Arbetsmyran skrev:

När jag först gjorde uppgiften, så gjorde jag faktiskt som dig. Exakt samma när du tog fram AC/2, men sen tog jag fram BD/2 genom pythagoras sats där a var hypotenusan.  Så därför fick jag ett roten ur uttryck men endast med kända variabler, som gav mig summan 2a(sin(phi)+sqrt(1-sin(phi)^2)). Men eftersom det inte såg ut som facit, tänkte jag att det var fel. Men egentligen är det ju rätt, fast skriver på ett annat sätt. Tror ni jag hade fått rätt för det? 

Då var du nära!

Det finns en del trigonometriska samband som är bra att känna igen. Ett av dem är den "trigonometriska ettan": ${\sin }^2 \alpha + {\cos }^2 \alpha =1.$ Den kommer du att träffa på många gånger om du läser matte, om du inte redan gjort det.

Du har $\sqrt{1-{\sin }^2\phi }$ och via "ettan" kan jag skriva om det till $\sqrt{{\cos }^2\phi }=\left|\cos \phi \right|$.

Då är du hemma och har samma resultat som facit.

Notera dock |absolutbeloppet|! Det gäller bara när $\cos \phi \ge 0$, vilket alltså är i 1:a och 3:e kvadranten. Nu är ju din vinkel 0<φ<90 grader, så det är lugnt.

Hängde du med? 

Ja jag förstår, gjorde det på tid så tänkte väl inte helt klart. Detta var som sagt fråga 29 på mattedelen alltså värd 2p, är det rimligt att tro att detta i så fall hade gett 0p?

EDIT: menade såklart att det var fråga 29

Arbetsmyran skrev:

Ja jag förstår, gjorde det på tid så tänkte väl inte helt klart. Detta var som sagt fråga 26 på mattedelen alltså värd 2p, är det rimligt att tro att detta i så fall hade gett 0p?

Det kan jag inte bedöma. Ditt svar var ju inte fel, men kanske inte så förkortat som man kanske vill ha det.

Bäst är väl om man löst så många trig-problem så att man direkt tänker sinus för vinkeln är motstående genom hypotenusan när man ser en rätvinklig triangel. Därefter inser man att den andra halva diagonalen man söker, alltså kateten i triangeln, blir cosinus. 

Lätt att säga förstås, men det handlar om muskelminne, fast i hjärnan. Det enda sättet att skaffa sig det är att lösa uppgifter, så du är på rätt väg. Jag kan läsa hur många böcker om gitarrer som helst, men för att bli bra måste jag faktiskt spela ganska många timmar.