Fråga om premutationer för bokstavskombinationer

Så vi har P(6,4) uppsättningar med bokstäver att skapa permutationer från.

Hur många av dessa har dubbletten GG i sig? Hur många har dubbletten OO i sig? Hur många har båda?

Ja jag förstår att man ska tänka genom att räkna dubbletterna för hand men jag vet inte hur jag ska ställa upp en formel för det

Tänker jag snett om man kan delar upp fallen för om 2 G och 2 andra bokstäver ska placeras ut på 4 platser så kommer det finnas 4!/2! dubbletter och samma för 2 O alltså 4!/2! dubbletter och slutligen med både 2 O och 2 G 4!/(2!×2!) ?

Om jag skulle bilda ett ord av "Google" med 6 bokstäver hade jag tagit 6!/(2!×2!) men jag tror inte man kan göra på samma sätt i den här uppgiften då det inte är säkert att vi väljer 2 G och 2 O varje gång.

Precis, det är riktigt.

Tänker jag snett om man kan delar upp fallen för om 2 G och 2 andra bokstäver ska placeras ut på 4 platser så kommer det finnas 4!/2! dubbletter och samma för 2 O alltså 4!/2! dubbletter och slutligen med både 2 O och 2 G 4!/(2!×2!) ?

Snyggt! Ja, jag skulle också dela upp det i fall här. Vi kan ha antingen 0, 1, eller 2 dubbletter i de fyra bokstäver vi väljer ut. Tillsammans täcker dessa fall in alla möjligheter.

Du har ett fall där alla bokstäver är distinkta. Det finns bara ett sätt att välja ut dessa fyra. Hur många ord kan vi bilda med dem?

Du har ett fall där en av bokstäverna (kan väljas på 2 sätt: antingen "g" eller "o") förekommer två gånger. Du kan för var och en av dessa två val välja de resterande två bokstäverna ur mängden $\{g,l,e\}$ eller $\{o,l,e\}$ på hur många sätt? För varje sådant val kan de fyra bokstäver ordnas på $\frac{4!}{2!}$ sätt precis som du skriver.

Det sista fallet är när du har två dubbletter, alltså bokstäverna $g,g,o,o$. Vi kan välja ut dessa på ett enda sätt, och ordna dem på $\frac{4!}{2!2!}$ sätt.

Adderar du alla kombinationer du fått i samtliga fall så har du täckt in alla möjligheter, och svaret blir då det vi söker.

Tack för svar! Isåfall skulle jag då tänka 4!+ (4!/2!)×2 + 4!/(2!×2!)= 54, eftersom 4! är hur man kan ordna g,o,l,e och resten är det jag skrev innan.

Jag har inget facit till uppgiften men det låter ändå som ganska få permutationer i jämförelse med P(6,4)=360, kan det stämma detta eller har jag beräknat fel?

Jo 54 verkar rätt

Hm, provade i MMA och fick svaret 102. Vet ej om skrivit rätt.

Jag testar att skriva ned:

ELGGOO

Alla 4 olika, vi måste ta bort GO.

Kvar ELGO. 4! möjligheter                     24

Ett par,

säg GG
Kvar EOGG, eller ELGG eller LOGG:

3*4!/2!                                                       36

Säg OO

Kvar EGOO eller ELGG el EOGG

Som ovan.                                                 36

Två par GGOO.                4!/(2! 2!)           6

Stämmer, det är 102

Typiskt kombinatorik, man är helt säker, men det ska man inte vara.

Fin lösning. Ja, kombinatorik är lurigt. 

Tack för all hjälp!!

(Slarvfel #9 rad 5 nedifrån: ska vara

Kvar EGOO eller ELOO eller GLOO)

Esterfalk skrev:

Tack för svar! Isåfall skulle jag då tänka 4!+ (4!/2!)×2 + 4!/(2!×2!)= 54, eftersom 4! är hur man kan ordna g,o,l,e och resten är det jag skrev innan.

 

Jag har inget facit till uppgiften men det låter ändå som ganska få permutationer i jämförelse med P(6,4)=360, kan det stämma detta eller har jag beräknat fel?

Det som saknas här är att det i mittenfallet för var och en av de två valen "g" och "o" finns $\binom{3}{2}$ sätt att välja de två sista bokstäverna på. Det finns alltså $2\cdot \binom{3}{2}=6$ olika val av de fyra bokstäverna.

För varje sådant val kan vi ordna dem på $\frac{4!}{2!}=12$ sätt. Det ger oss totalt $6\cdot 12 = 72$ ord under fall två.

Totalt får vi alltså $24+72+6=102$ ord.

Nu fortsätter jag här på samma spår med en liknande fråga: Hur många olika bokstavsföljder av 4 bokstäver kan vi bilda med bokstäverna i ordet KNAPPAR ? Jag får fel svar om jag använder samma metod:

Börja med att AAPP: 4!/(2!2!)=6
Dela upp i olika fall: 2 A, tex AAKN, då kan de resterande bokstäverna finnas på 4*3=12 sätt och bokstäverna ordnas på 4!/2! --> 12*4!/2!=144

Samma sak gäller 2 P, t.ex. PPKN --> 12*4!/2!=144

Om alla bokstäverna är olika får vi 5*4*3*2=120

summera allting: 6+144+144+120=414 men jag har hittat en lösning här som ger svaret 270: https://courses.mai.liu.se/GU/TADI31/Forelosningar/exempel_KNAPPAR.pdf som säger att man ska tänka 4 över 2 för PP och AA, ska man alltså göra samma sak på ordet GOOGLE då också? 

Nu vet jag inte heller om det är särskilt troligt att detta kommer på ett prov i matte 5... men det känns ändå som en fråga som skulle kunna komma med tanke på vi har haft flera frågor innan med enklare fall för bokstavskombinationer som endast gett E och C-poäng.

KNRAAPP

Inga par:

KNRA, KNRP, 

NRAP, KRAP, KNAP

5 gånger 4!                                  120

Ett par:

AAKN, AAKP, AAKR, 

AANP, AANR, AAPR

PPKN, OSV

12 gånger 4!/2!                               144

Två par:

AAPP

1 gånger 4!/(2!2!)                                6

Jag har nog glömt något, men metoden känns ok.

Esterfalk skrev:

Nu vet jag inte heller om det är särskilt troligt att detta kommer på ett prov i matte 5... men det känns ändå som en fråga som skulle kunna komma med tanke på vi har haft flera frågor innan med enklare fall för bokstavskombinationer som endast gett E och C-poäng.

Att hitta en strategi är viktigt. Och att jämföra olika strategier. Sådant har du nytta av oavsett svårighetsgrad.

Esterfalk skrev:

Nu fortsätter jag här på samma spår med en liknande fråga: Hur många olika bokstavsföljder av 4 bokstäver kan vi bilda med bokstäverna i ordet KNAPPAR ? Jag får fel svar om jag använder samma metod:

Börja med att AAPP: 4!/(2!2!)=6
Dela upp i olika fall: 2 A, tex AAKN, då kan de resterande bokstäverna finnas på 4*3=12 sätt och bokstäverna ordnas på 4!/2! --> 12*4!/2!=144

Samma sak gäller 2 P, t.ex. PPKN --> 12*4!/2!=144

Om alla bokstäverna är olika får vi 5*4*3*2=120

 

summera allting: 6+144+144+120=414 men jag har hittat en lösning här som ger svaret 270: https://courses.mai.liu.se/GU/TADI31/Forelosningar/exempel_KNAPPAR.pdf som säger att man ska tänka 4 över 2 för PP och AA, ska man alltså göra samma sak på ordet GOOGLE då också? 

Det i fetstil blev fel. Om du t.ex. först väljer bokstaven K och sedan bokstaven N så får du samma uppsättning bokstäver som om du först hade valt bokstaven N och sedan bokstaven K. Det räknas med andra ord dubbelt.

Angående om det kommer på provet eller inte: Non scholae sed vitae i allmänhet,  även om jag förstår att du fokuserar inför provet hur och nu.

Bedinsis skrev:

Angående om det kommer på provet eller inte: Non scholae sed vitae i allmänhet,  även om jag förstår att du fokuserar inför provet hur och nu.

Ja jag håller med då jag ändå ska söka vidare inom matte/fysik framtiden men förhoppningsvis inte för mycket kombinatorik... haha, 

Jag fattar hur jag ska lösa uppgiften nu för jag glömde att det bara är uppsättningarna för AA och PP som är viktiga vilket är 6 st var--> 72+72+120+6=270

Tack för all hjälp!!