Fundersam

Bild för kontext 

Vad är uppgiften? Att bevisa satsen eller vad?

Uppgiften är , "Låt $f$ vara kontinuerlig på $\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]$ med $f\left(a\right)<0<f\left(b\right)$ bevisa att det finns ett största $∆$ i $\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]$ för vilket $f(∆)=0$".

Författaren har tidigare i boken givet ett bevis för att det finns ett $x$ med $f\left(x\right)=0$, då $f$ har dem ovanstående kraven. 

I det beviset använder han sig av $A=\left\{x: a\le x\le b, och f är negativ på \left[\begin{array}{cc}a& x\end{array}\right]\right\}$ för att hitta det minsta x:et med $f\left(x\right)=0$.

Så jag förstår idén med varför man vill ha $f\left(b\right)$ vid $a$ och $f\left(a\right)$vid $b$, men inte hur detta fås genom $g(∆)=f(b-a+∆)$ för $∆\in \left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]$

Hej!

Texten du citerar är felaktig! Det gäller inte att g(b)=f(a), utan snarare att g(b)=f(2b-a). 

Albiki skrev:

Hej!

Texten du citerar är felaktig! Det gäller inte att g(b)=f(a), utan snarare att g(b)=f(2b-a). 

 Hej! Tack det var det jag misstänkte. 

Texten verkar vilja att $g(b) = f(a)$ och att $g(a) = f(b)$, så det gäller att finna ett samband mellan $x$ och $y$ som är sådant att $y(a) = b$ och $y(b) = a$. Det enklast tänkbara är en rät linje som förbinder dessa två punkter. 

    $y(x) = b + k(x-a)$

där lutningen $k = (a-b)/(b-a) = -1,$ vilket ger

    $y(x) = b-(x-a) = b+a-x.$

Texten skrev alltså $b-a+x$ när den egentligen menade $b+a-x$.

Kontroll: När $x = a$ är $y=b$ och när $x=b$ är $y=a$.