6 svar
106 visningar
Hulu är nöjd med hjälpen!
Hulu 14
Postad: 29 jul 2020

Funktion två variabler

Hej, har f(x, y) = sin(x^2)+y^2-xy

 

Ett påstående av dessa tre är sant:

 

a) den linjära approximationen av f i origo ges av z=xy.

Här blir det väl tangentplanets ekvation där z=0, xy är också =0. Betyder det att denna stämmer?

 

b) (Du)f(0,1)=sqrt(5), där u=(-1,2)/sqrt(5)

Kan någon hjälpa mig med hur jag ska tänka, fattar inte hur man skriver fram u. 

 

c) grafen till z=f(x, y) har inget tangentplan eftersom grad f(0,0)=(0,0) 

Är detta påstående falskt? Vet ej hur man testar. 

Hondel 331 – Mattecentrum-volontär
Postad: 29 jul 2020 Redigerad: 29 jul 2020

På b), är det riktningsderivatan du menar med (Du)? I sådana fall räknas den ut som f(0,1)u\nabla f(0,1) \textbullet \mathbf{u}, där u=1(5)(-1,2)t\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{(5)}} (-1,2)^t

På c): Gradienten är 0, det betyder att partiella derivatorna är noll i origo. Skulle det innebära att man inte kan ha ett tangentplan då? 

På a) är jag faktiskt inte riktigt säker på hur man ska tänka, men känns inte som att bara för att xy=0 så stämmer det. Jag skulle istället använt Taylors formel i flera variabler. Dvs gjort en taylor-utveckling av ordning 1 (upp till x-term). Det borde väl vara en linjär approximation?

Hondel skrev:

På b), är det riktningsderivatan du menar med (Du)? I sådana fall räknas den ut som f(0,1)u\nabla f(0,1) \textbullet \mathbf{u}, där u=1(5)(-1,2)t\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{(5)}} (-1,2)^t

På c): Gradienten är 0, det betyder att partiella derivatorna är noll i origo. Skulle det innebära att man inte kan ha ett tangentplan då? 

På a) är jag faktiskt inte riktigt säker på hur man ska tänka, men känns inte som att bara för att xy=0 så stämmer det. Jag skulle istället använt Taylors formel i flera variabler. Dvs gjort en taylor-utveckling av ordning 1 (upp till x-term). Det borde väl vara en linjär approximation?

På a), är xy ens linjär.....? Tänkte nu att det skulle kunna vara argument för att det inte är en linjär approximation. Man behöver inte ens räkna ut Taylors formel eftersom den ger något i stil med A+Bx+Cy där A, B och C är konstanter

Men kanske någon annan ska bekräfta eller dementera detta

Micimacko 2111
Postad: 29 jul 2020
Hondel skrev:
Hondel skrev:

På a), är xy ens linjär.....? Tänkte nu att det skulle kunna vara argument för att det inte är en linjär approximation. Man behöver inte ens räkna ut Taylors formel eftersom den ger något i stil med A+Bx+Cy där A, B och C är konstanter

Men kanske någon annan ska bekräfta eller dementera detta

Jag tror du har rätt

Hulu 14
Postad: 29 jul 2020
Hondel skrev:

På b), är det riktningsderivatan du menar med (Du)? I sådana fall räknas den ut som f(0,1)u\nabla f(0,1) \textbullet \mathbf{u}, där u=1(5)(-1,2)t\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{(5)}} (-1,2)^t

På c): Gradienten är 0, det betyder att partiella derivatorna är noll i origo. Skulle det innebära att man inte kan ha ett tangentplan då? 

På a) är jag faktiskt inte riktigt säker på hur man ska tänka, men känns inte som att bara för att xy=0 så stämmer det. Jag skulle istället använt Taylors formel i flera variabler. Dvs gjort en taylor-utveckling av ordning 1 (upp till x-term). Det borde väl vara en linjär approximation?

Angående a) så stämmer det att funktionen inte är linjär vilket gör den också falsk.

 

Angående b)Det står uf(0,1)=5   där u = (-1,2)5

Är det verkligen samma som gradienten?

 

c) var falsk, dvs det finns ett tangentplan i origo.

Hulu skrev:
Hondel skrev:

På b), är det riktningsderivatan du menar med (Du)? I sådana fall räknas den ut som f(0,1)u\nabla f(0,1) \textbullet \mathbf{u}, där u=1(5)(-1,2)t\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{(5)}} (-1,2)^t

På c): Gradienten är 0, det betyder att partiella derivatorna är noll i origo. Skulle det innebära att man inte kan ha ett tangentplan då? 

På a) är jag faktiskt inte riktigt säker på hur man ska tänka, men känns inte som att bara för att xy=0 så stämmer det. Jag skulle istället använt Taylors formel i flera variabler. Dvs gjort en taylor-utveckling av ordning 1 (upp till x-term). Det borde väl vara en linjär approximation?

Angående a) så stämmer det att funktionen inte är linjär vilket gör den också falsk.

 

Angående b)Det står uf(0,1)=5   där u = (-1,2)5

Är det verkligen samma som gradienten?

 

c) var falsk, dvs det finns ett tangentplan i origo.

Jag skulle säga att det betyder riktningsderivata, vilket jag skrev hur man räknar ut tidigare. Du kan söka på Google, men man kan nog säga att det är hur mycket funktionen förändras i en viss riktning. Så i det här fallet ska du se hur mycket funktionen ändras i u:s riktning och om det är roten av 5

Angående c): ja, funktionen är ju kontinuerlig och fin så inga problem att ha ett tangentplan. Jämför exempelvis med envar-fallet f(x)=x^2. Derivatan i x=0 är 0, men det går ju fortfarande att dra en tangent så finns inget som säger att det saknas tangent(plan) bara för att derivatan/orna är 0 :)

Hulu 14
Postad: 30 jul 2020
Hondel skrev:
Hulu skrev:
Hondel skrev:

På b), är det riktningsderivatan du menar med (Du)? I sådana fall räknas den ut som f(0,1)u\nabla f(0,1) \textbullet \mathbf{u}, där u=1(5)(-1,2)t\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{(5)}} (-1,2)^t

På c): Gradienten är 0, det betyder att partiella derivatorna är noll i origo. Skulle det innebära att man inte kan ha ett tangentplan då? 

På a) är jag faktiskt inte riktigt säker på hur man ska tänka, men känns inte som att bara för att xy=0 så stämmer det. Jag skulle istället använt Taylors formel i flera variabler. Dvs gjort en taylor-utveckling av ordning 1 (upp till x-term). Det borde väl vara en linjär approximation?

Angående a) så stämmer det att funktionen inte är linjär vilket gör den också falsk.

 

Angående b)Det står uf(0,1)=5   där u = (-1,2)5

Är det verkligen samma som gradienten?

 

c) var falsk, dvs det finns ett tangentplan i origo.

Jag skulle säga att det betyder riktningsderivata, vilket jag skrev hur man räknar ut tidigare. Du kan söka på Google, men man kan nog säga att det är hur mycket funktionen förändras i en viss riktning. Så i det här fallet ska du se hur mycket funktionen ändras i u:s riktning och om det är roten av 5

Angående c): ja, funktionen är ju kontinuerlig och fin så inga problem att ha ett tangentplan. Jämför exempelvis med envar-fallet f(x)=x^2. Derivatan i x=0 är 0, men det går ju fortfarande att dra en tangent så finns inget som säger att det saknas tangent(plan) bara för att derivatan/orna är 0 :)

Tack, nu känns det klarare! :) 

Svara Avbryt
Close