Funktionen f är deriverbar
Hej kan någon förklara hur man ska tänka här? Förstår inte något av vad de skriver i rutan, förklara gärna med ord om möjligt
Svårt att veta exakt vad du frågar om.
Jag tänker såhär: Om en funktion är deriverbar, så är den kontinuerlig.
Däremot gäller INTE: Om en funktion är kontinuerlig, så är den deriverbar.
Jag vill förstå hur de har bevisat att den är kontinuerlig.
Det har de inte. Kontinuiteten följer av att funktionen är deriverbar. Deriverbarhet kräver nämligen kontinuitet. För utan kontinuitet kan man inte definiera derivatan.
De har ju visat med derivatans definition? Men jag förstår inte hur de har gjort det
Du har rätt. Jag var för snabb. Återkommer
Hej!
- Funktionen f är kontinuerlig i punkten a om limx→a|f(x)-f(a)|=0.
- Funktionen f är deriverbar i punkten a om limx→a|f(x)-f(a)x-a-f'(a)|=0 .
Du vet att funktionen f är deriverbar i punkten a. Därför är det meningsfullt att skriva
|f(x)-f(a)|=|f(x)-f(a)x-a|·|x-a|=|(f(x)-f(a)x-a-f'(a))+f'(a)|·|x-a| .
Sedan ger Triangelolikheten att
|(f(x)-f(a)x-a-f'(a))+f'(a)|≤|f(x)-f(a)x-a-f'(a)|+|f'(a)|
så att du kan skriva
Error converting from LaTeX to MathML
Detta visar att |f(x)-f(a)|→0 när x→0.
Albiki
Error converting from LaTeX to MathML
Och att limx→af(x)-f(a)=0 är samma sak som att limx→af(x)=limx→af(a)=f(a) Sista likheten är definitionen av att f(x) är kontinuerlig i a.
Ser knasigt ut med parenteserna i boken
Tack för att andra fyller på med visdom! Dock ska x gå mot a på sista raden i Albikis post.
Parenteserna förvirrar i boken efter raden "Detta medför att"