Funktionen (x!)^(1/x) (Matematik/Universitet)

Vore intressant att se vad du menar, har du möjlighet att lägga in en bild? Vad menar du med "icke def för x<171"? Bör den vara icke def då?

Nej jag ser att den inte är def efter -171, finns inget där.

Men det kanske är fel på appen

Börja med att plotta x!, den är lite speciell för negativa x.

Ja jag vet, men ser du bilderna?

Stora fakulteter och potenser brukar grafräknare få problem med. Det du ser är förmodligen inte så grafen ska se ut.

Men det som är så konstigt är att de här uppochnedvända U ligger på en rätlinje och far inte iväg. Det blir nog för mycket någonstans på vägen trots att funktionsvärdet inte ens är större än 100.

Men vad är det för lodräta streck under?

De lodräta strecken ska inte vara där, det är grafräknaren som gör fel.

Att analysera en funktion som denna med hjälp av grafräknare är inte särskilt klokt, eftersom grafräknaren inte klarar av att rita en korrekt graf.

Haha ja men det är väl det enda jag har att tillgå om när det gäller sånna här. Jag vet inte ens hur jag deriverar det här.

Jag "frågade" wolfram alpha om denna funktions definitionsmängd, och det var lite konstigt.

Laguna skrev:
Börja med att plotta x!, den är lite speciell för negativa x.

Kanske lite offtopic, men hur definieras x! för kontinuerliga värden på x, resp. negativa värden på x?

Inte alls offtopic! Med gammafunktionen: https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Gammafunktionen

Den är däremot inte def för negativa heltal

Qetsiyah skrev:
Haha ja men det är väl det enda jag har att tillgå om när det gäller sånna här. Jag vet inte ens hur jag deriverar det här.
Jag "frågade" wolfram alpha om denna funktions definitionsmängd, och det var lite konstigt.

Definitionsmängd är ju något du väljer när du skapar funktionen, inte någon egenskap hos funktionen.

Först måste vi klargöra vad vi egentligen menar med $x!$ . Fakulteter är ju i vanliga fall bara definierade för heltal, så vi behöver någon annan definition. En bra generalisering är den så kallade gammafunktionen. Är du bekant med den?

Då $x!<0$ får du svårt att definiera $(x!)^\frac{1}{x}$ eftersom endast vissa potenser av negativa tal är definierade. Exempelvis är $(-1)^{2}$ och $(-1)^{1/3}$ definierade, men inte $(-1)^{1/2}$ eller några irrationella potenser. Du får alltså inte i närheten av nog med punkter för att få en kontinuerlig funktion, och att försöka definiera funktionen för intervallen då $x!<0$ blir därför inte särskilt meningsfullt.

Har inte hunnit fundera så mycket på detta själv, men om du vill förstå det här på riktigt är Steg 1 att fundera på vad $x!$ betyder för $x\in\mathbb{R}$ som inte är positiva heltal (som redan har konstaterats ovan är 'gammafunktionen' ett bra sökord). Finns det någon fungerande definition av $x!$ för negativa heltal? Vad händer om $x$ närmar sig ett negativt heltal från vänster eller höger?

Som AlvinB påpekar behöver du även ta en funderare på vad $y^{1/x}$ betyder när $y<0$ . Finns det något meningsfullt att sätta ut saker som $(-1)^{-3/4}$ eller, ännu värre, $(-2)^{\pi}$ på tallinjen?

Vidare kan du fundera på om det finns det något i definitionen av $x!$ eller $y^{1/x}$ som skulle kunna göra att $(x!)^{1/x}$ blir odefinierat för $x<-171$ ? Om inte, så kan du i stället fundera på om det finns något som gör att $(x!)^{1/x}$ blir svårare och svårare att beräkna när $x\to-\infty$ (i så fall skulle det kunna vara så att gränsen för vad din räknare klarar av råkar vara just $x=-171$ )?

Talen som ska hanteras blir i storleksordningen $10^{308}$ när $x < - 170 \lor x > 170$ vilket är en datavetenskaplig begränsning för flyttal (Edit: Dubbelprecision, eller 8 Bytes med data). Det finns omvägar som kan tillämpas vilket också uppenbarar sig om du plottar din funktion i wolfram alpha istället.

Om du skulle använda gammafunktionen i MATLAB, exempelvis, skulle du bli tvungen att använda deras symbolic toolbox eller olika linjäriseringsmetoder för att dämpa talen under beräkningsgången.

AlvinB skrev:
Är du bekant med den?

Typ

Då $x!<0$ får du svårt att definiera $(x!)^\frac{1}{x}$ eftersom endast vissa potenser av negativa tal är definierade. Exempelvis är $(-1)^{2}$ och $(-1)^{1/3}$ definierade, men inte $(-1)^{1/2}$ eller några irrationella potenser. Du får alltså inte i närheten av nog med punkter för att få en kontinuerlig funktion, och att försöka definiera funktionen för intervallen då $x!<0$ blir därför inte särskilt meningsfullt.

Oj, det hade jag glömt! Det är sant men grafen ser ju att vara kontinuerlig i (-17, -16) till exempel...

Qetsiyah skrev:
AlvinB skrev:
Är du bekant med den?
Typ
Då $x!<0$ får du svårt att definiera $(x!)^\frac{1}{x}$ eftersom endast vissa potenser av negativa tal är definierade. Exempelvis är $(-1)^{2}$ och $(-1)^{1/3}$ definierade, men inte $(-1)^{1/2}$ eller några irrationella potenser. Du får alltså inte i närheten av nog med punkter för att få en kontinuerlig funktion, och att försöka definiera funktionen för intervallen då $x!<0$ blir därför inte särskilt meningsfullt.
Oj, det hade jag glömt! Det är sant men grafen ser ju att vara kontinuerlig i (-17, -16) till exempel...

Pröva att plotta $x!$ !

För vissa negativa $x$ är $x!>0$ , men för andra negativa $x$ är $x!<0$ .

En notationsanmärkning: Egentligen tycker jag att vi bör undvika att skriva $x!$ eftersom vi egentligen menar gammafunktionen. Då bör vi egentligen skriva $\Gamma(x+1)$ .

AlvinB skrev:

Pröva att plotta $x!$ !

Just i denna diskussion kanske vi ska undvika utropstecken haha.

För vissa negativa $x$ är $x!>0$ , men för andra negativa $x$ är $x!<0$ .

Mmmm... ja det är då alla negativa exponenter är def.

Ebola: flyttal kallas det... åhhhhh så intressant!

oggih skrev:
Vad händer om $x$ närmar sig ett negativt heltal från vänster eller höger?

Ser ut som 1/x...

Om inte, så kan du i stället fundera på om det finns något som gör att $(x!)^{1/x}$ blir svårare och svårare att beräkna när $x\to-\infty$ (i så fall skulle det kunna vara så att gränsen för vad din räknare klarar av råkar vara just $x=-171$ )?

Ja, det var väl det som ebola sa?

Qetsiyah skrev:
AlvinB skrev:
Pröva att plotta $x!$ !
Just i denna diskussion kanske vi ska undvika utropstecken haha.

Dubbla utropstecken används ibland för den s. k. semifakulteten, som är 1*3*5*7* osv.