5 svar
102 visningar
Exoth 159
Postad: 19 dec 2020 10:43 Redigerad: 19 dec 2020 10:44

Fylla ut ON-bas, gör rätt (tror jag) men skiljer sig från facit?

Håller på att lösa en uppgift och förstår mig inte på hur de fick fram svaret i facit, jag antar att om jag fortsätter min uträkning kan jag få fram rätt svar, men det blir mycket mer komplicerade uträkningar, så jag undrar om ni förstår hur de gjort för svaret i facit?

Jag kan alltså skapa f3 genom att normera exempelvis (-1,2,14,0), och sen göra om samma process för f4, men det blir som sagt mycket mer komplicerade uträkningar så det känns som jag inte gör som jag ska.

Dr. G 6800
Postad: 19 dec 2020 12:19

Jag hade nog gjort som du för att hitta en bas i det ortogonala komplementet. Vi kan kalla basvektorerna för u1 och u2. 

Välj sedan en av de vektorerna som tredje basvektor i ON-basen.

Den sista basvektor kan du hitta genom att hitta s och t så att 

(s*u1 + t*u2)*u1 = 0

Exoth 159
Postad: 19 dec 2020 13:20 Redigerad: 19 dec 2020 13:28
Dr. G skrev:

Jag hade nog gjort som du för att hitta en bas i det ortogonala komplementet. Vi kan kalla basvektorerna för u1 och u2. 

Välj sedan en av de vektorerna som tredje basvektor i ON-basen.

Den sista basvektor kan du hitta genom att hitta s och t så att 

(s*u1 + t*u2)*u1 = 0

Hur ska jag ställa upp det sista du skrev i en uträkning?

Menar du att jag ska ställa upp ett ekvationssytem för de villkor som gäller för att vektorn ska vara i det underrum som s*u1 och s*u2 spänner upp, och samtidigt vara ortogonal med u1?

Jroth 1191
Postad: 19 dec 2020 14:42 Redigerad: 19 dec 2020 14:52

Vektorerna f3f_3 och f4f_4 spänner tillsammans ett underrum vinkelrätt mot dina två första basvektorer.

Alltså räcker det med att du från f4f_4 drar bort projektionen av f4f_ 4f3f_3 för att erhålla en vektor som är vinkelrät mot f3f_3 och på köpet vinkelrät mot övriga basvektorer.

e4=f4-f3,f4f32f3e_4=f_4-\frac{\langle f_3,f_4\rangle}{\lVert f_3 \rVert^2}f_3

Glöm inte att slutligen normera de två sista basvektorerna.

Exoth 159
Postad: 19 dec 2020 16:19 Redigerad: 19 dec 2020 16:22
Jroth skrev:

Vektorerna f3f_3 och f4f_4 spänner tillsammans ett underrum vinkelrätt mot dina två första basvektorer.

Alltså räcker det med att du från f4f_4 drar bort projektionen av f4f_ 4f3f_3 för att erhålla en vektor som är vinkelrät mot f3f_3 och på köpet vinkelrät mot övriga basvektorer.

e4=f4-f3,f4f32f3e_4=f_4-\frac{\langle f_3,f_4\rangle}{\lVert f_3 \rVert^2}f_3

Glöm inte att slutligen normera de två sista basvektorerna.

Smart! Då blir det relativt simpelt. Du har inte någon aning om hur de troligen fått fram vektorerna i facit?

Albiki 5096
Postad: 19 dec 2020 16:59 Redigerad: 19 dec 2020 17:00

Hej,

Underrummet UU till 4\mathbb{R}^4 är det linjära höljet av de två vektorerna f1f_1 och f2f_2. Det ortogonala komplementet UU^\perp består av alla vektorer x=(x1,x2,x3,x4)x=(x_1,x_2,x_3,x_4) i 4\mathbb{R}^4 som är ortogonala mot f1f_1 och mot f2f_2.

    x·f1=02x1+x2+0x3+x4=0x \cdot f_1 = 0 \implies 2x_1+x_2+0x_3+x_4 = 0

och

    x·f2=02x1-6x2+x3+2x4=0.x \cdot f_2 = 0 \implies 2x_1-6x_2+x_3+2x_4=0.

Dessa två ekvationer sammanfattas i matrisekvationen

    21012-612x1x2x3x4=00\begin{pmatrix}2&1&0&1\\2&-6&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

som löses via Gausseliminering för att finna hur vektor xUx \in U^\perp ser ut.

Svara Avbryt
Close