Gäller instängningssatsen här?
Jag förstår inte förklaringen i lösningsförslaget. Men om man använder instängningssatsen och visar att då n går mot oändlighet går -1/n, 1/n mot noll och de måste gränsvärdet för hela intervallet gå mot noll?
Nej, det var lurigt. Intervallet In är ett intervall i x-led, dvs ett horisontellt intervall.
För n = 10 tittar vi på funktionens värden i intervallet mellan –0,1 och +0,1.
För n = 100 tittar vi på funktionens värden i intervallet mellan –0,01 och +0,01
osv
Funktionen (jag kallar den F(x)) är definierad för alla x.
F(0) är alltså definierat, antag t ex att F(0) = 4.
Vad vi ska visa är intuitivt ganska självklart, nämligen ungefär att när intervallet blir smalare och smalare kommer funktionsvärdena att ligga allt närmare 4.
Men inte riktigt..
Vad som står är att om vi kallar det största värdet i intervallet [–1/n , 1/n] för Fn så kommer Fn att gå mot 4 när n går mot oändligheten.
Det bygger på att F är kontinuerlig. Resonemanget ser ut så här:
I varje intervall [–1/n, 1/n] är det något x som ger det största värdet för F. Vi kallar detta x för xn.
F(xn) kallar vi för Fn.
När n går mot oändl så går xn mot 0 (eftersom xn ligger någonstans mellan –1/n och +1/n).
Nu kommer det viktiga steget: När n går mot oändl så är lim Fn = lim F(xn) och
att F kont betyder att lim F(xn) = F(lim xn) som är F(0).
Det tog en stund för mig att begripa det hela. Jag tror du och jag gjorde samma misstag, vi trodde att man skulle visa att intervallet gick mot noll, men det är ju meningslöst – intervallet är ingen funktion. Det man ska visa kan tyckas trivialt, självklart, men uppgiften är en övning i att förstå matematisk text, och i att använda redskapen i teorin. Vi har en definition av kontinuitet (att f(x) går mot f(a) när x går mot a) – då ska vi använda den och inte lita till vår intuition.
