Ganska klurig uppgift om differentialekvationer + har facit fel igen?

Min metod (kom inte så långt)

y' = -0.03y - utvandring => y' = -0.03y - 1.02. Något sådant? Redan här har jag två frågor:

Jag har lärt mig att om något minskar med tre procent och ska tecknas med en differentialekvation användes inte ff 0.97 utan ff -0.03. Samma sak om något ökar. Då används ff 0.03 och inte 1.03. Men jag blir osäker på om samma ff ska användas när en annan minskning ( i detta fall utvandringen) också är med? När används vilken typ av ff? (ff = förändringsfaktor)

Facit :

Två frågor om facits svar:

Här används ff 1.05, vart kommer den ifrån? Hur vet man att det ökar exponentiellt? Var det inte en minskning? Varför används inte ff 0.05? (antar att facit menar att ff ska vara 1.02)?

Ja. 1.05 är fel, det ska vara 1.02.

Kan du tänka såhär:

Antag att $y (x)$ är befolkningsantalet, och $x$ är år efter startåret.

Då är $y' (x)$ befolkningsändringen per år (enhet "antal/år").

Befolkningsändringen beror på två olika saker:

1. Det dör fler än det föds. Denna mekanism gör att befolkningen minskar med tre procent av innevarande befolkning, per år. Alltså, om det är 46000 innevånare ett år så kommer befolkningen att minska med 46000*0.03=1380 personer under det året. Detta kan skrivas allmänt som $y' (x) = - 0.03 \cdot y (x)$ . Minustecknet kommer av att befolkningsändringen på grund av detta är en minskning, inte en ökning.

2. Nu var det inte enda anledningen till att befolkningen minskar, eftersom dessutom flyttar det människor. Man vet att det flyttar 2000 personer år noll, året efter flyttar det 2000*1.02 personer, året därefter flyttar det 2000*1.02*1.02 personer, etc etc. Detta kan skrivas allmänt som $y' (x) = - 2000 \cdot 1 . 02^{x}$ . Minustecknet kommer av att befolkningsändringen på grund av flytt är en minskning, inte en ökning.

Om man lägger ihop de två mekanismerna så får man alltså

$y' (x) = - 0.03 \cdot y (x) - 2000 \cdot 1 . 02^{x}$

Hänger du med?

Angående dina frågor. Förändringsfaktorn 0.97 skulle du kunna använda om du skulle beskriva hur befolkningsantalet förändras från år till år enbart pga av födda och döda, dvs $y (x) = 46000 \cdot 0 . 97^{x}$ .

Med diffekvationen $y' (x) = - 0.03 \cdot y (x)$ och $y (0) = 46000$ hade du istället fått lösningen $y (x) = 46000 \cdot e^{- 0.03 x} = 46000 \cdot {(e^{- 0.03})}^{x} \approx 46000 \cdot 0 . 97^{x}$

Dvs _nästan_ samma sak. Problemet är att det hade varit jobbigt att kombinera de två olika bidragen genom att räkna med förändringsfaktorer, eftersom då hade du varit tvungen att "stega manuellt" dvs räkna ut hur stor befolkningen är år för år. Nu beskrev uppgiften att man skulle göra en differentialekvation av "situationen" (ganska luddigt beskrivet. Vadå för "situation" frågar sig vän av ordning. Man kan förstå vad uppgiftförfattaren vill att du ska göra, men det hade säkert gått att formulera frågan lite tydligare. Kanske, "Teckna en differentialekvation som beskriver befolkningsförändringen per år")

Tackar!

Svara