Går det att lösa 117c algebraiskt?

Ja, det går.

T.ex. så här:

• Lös ut x och y. De kommer då att bero på k.
• Sätt upp och lös olikheterna x > 0 och y > 0.

Visa dina försök.

Yngve skrev:

Ja, det går.

T.ex. så här:

• Lös ut x och y. De kommer då att bero på k.
• Sätt upp och lös olikheterna x > 0 och y > 0.

Visa dina försök.

Jag försökte med 

$$\begin{gathered} 2y + x = 6 \\ y - kx = 2 \\ skrev om 2y + x = 6 till x = 6 - 2y \\ satte in det i y - kx = 2 \\ y - k(6-2y) = 2 \\ -k(6-2y) = 2 - y \\ -k = \frac{2-y}{6-2y} \\ Multiplicera med -1 \\ k = \frac{2 + y}{6+2y} \\ efter det kom jag inte vidare \end{gathered}$$

Bra början, men lös ut y, inte k.

Lös sedan ut x.

Sätt sedan upp olikheten y > 0 och lös den.

Sätt sedan upp olikheten x > 0 och lös den.

Det/de värden på k som uppfyller båda olikheterna är sedan det/de värden på k som ger ekvationssystemet en lösning i första kvadranten.

Yngve skrev:

Bra början, men lös ut y, inte k.

Lös sedan ut x.

Sätt sedan upp olikheten y > 0 och lös den.

Sätt sedan upp olikheten x > 0 och lös den.

Det/de värden på k som uppfyller båda olikheterna är sedan det/de värden på k som ger ekvationssystemet en lösning i första kvadranten.

Har testat nu från alla håll och kanter men kan inte komma till någon lösning. Vet inte vad jag gör fel. Hamnar på typ samma ställe igen. 

När jag skriver "lös ut y" så menar jag att du ska skriva om ekvationen så att y hamnar ensamt på ena sidan av likhetstecknet.

Jag hjälper dig med de första stegen:

 y-k(6-2y) = 2

Multiplicera in k innanför parentesen:

y-6k+2ky = 2

Addera 6k till båda sidor:

y+2ky = 2+6k

Kan du fortsätta själv nu med att lösa ut y?

Visa ditt försök.

Yngve skrev:

När jag skriver "lös ut y" så menar jag att du ska skriva om ekvationen så att y hamnar ensamt på ena sidan av likhetstecknet.

Jag hjälper dig med de första stegen:

 y-k(6-2y) = 2

Multiplicera in k innanför parentesen:

y-6k+2ky = 2

Addera 6k till båda sidor:

y+2ky = 2+6k

Kan du fortsätta själv nu med att lösa ut y?

Visa ditt försök.

$$\begin{gathered} Faktoriserar y \\ y(1+2k) = 2+ 6k \\ y\hspace{0.17em}= \frac{2+6k}{1+2k} \\ sätter in y i ekvationen x = 6 - 2y \\ x =\hspace{0.17em}6 -2\left(\frac{2+6k}{1+2k}\right) \\ förlänger 6 med (1+2k) \\ x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{6 + 12k -4 -12k}{1+2k} \\ x\hspace{0.17em}= \frac{2}{1+2k} och y = \frac{2+6k}{1+2k} \\ rätt eller fel? \end{gathered}$$

Rätt. Bra!

Men du är inte klar ännu.

Yngve skrev:

Men du är inte klar ännu.

$$\begin{gathered} för x \frac{2}{1+2k}>0 \\ 2> 0 \\ för y \frac{2+6k}{1+2k}>0 \\ 2+6k > 0 \\ 6k > -2 \\ k > -\frac{2}{6} \\ k>-\frac{1}{3} \\ så där k >-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ironmann skrev:

$$\begin{gathered} för x \frac{2}{1+2k}>0 \\ 2> 0 \\ för y \frac{2+6k}{1+2k}>0 \\ 2+6k > 0 \\ 6k > -2 \\ k > -\frac{2}{6} \\ k>-\frac{1}{3} \\ så där k >-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Rätt svar men ditt resonemang håller inte.

======= För x > 0 =======

För att 2/(1+2k) ska vara större än 0 så måste det gälla att 1+2k > 0, dvs att k > -1/2.

======= För y > 0 ========

För att (2+6k)/(1+2k) ska kunna vara större än 0 så måste antingen både täljare och nämnare vara positiva, dvs (2+6k > 0 och 1+2k > 0) ELLER så måste både täljare och nämnare vara negativa, dvs (2+6k < 0 och 1+2k < 0).

Det första fallet ger k > -1/3 och k > -1/2, dvs k > -1/3.

Det andra fallet ger k < -1/3 och k < -1/2, dvs k < -1/2.

======== Slutsats ========

De värden på k för vilka både x och y är större än 0 är k > -1/3

Men jag hoppas att du löste den grafiskt istället, det går ju mycket snabbare.

Yngve skrev:

Ironmann skrev:

$$\begin{gathered} för x \frac{2}{1+2k}>0 \\ 2> 0 \\ för y \frac{2+6k}{1+2k}>0 \\ 2+6k > 0 \\ 6k > -2 \\ k > -\frac{2}{6} \\ k>-\frac{1}{3} \\ så där k >-\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Rätt svar men ditt resonemang håller inte.

======= För x > 0 =======

För att 2/(1+2k) ska vara större än 0 så måste det gälla att 1+2k > 0, dvs att k > -1/2.

======= För y > 0 ========

För att (2+6k)/(1+2k) ska kunna vara större än 0 så måste antingen både täljare och nämnare vara positiva, dvs (2+6k > 0 och 1+2k > 0) ELLER så måste både täljare och nämnare vara negativa, dvs (2+6k < 0 och 1+2k < 0).

Det första fallet ger k > -1/3 och k > -1/2, dvs k > -1/3.

Det andra fallet ger k < -1/3 och k < -1/2, dvs k < -1/2.

======== Slutsats ========

De värden på k för vilka både x och y är större än 0 är k > -1/3

Men jag hoppas att du löste den grafiskt istället, det går ju mycket snabbare.

Okej förstår helt och hållet! Tack för din förklaring och all hjälp!