Går det att lösa följande uppgift med modulär aritmetik?
Hej, går det att lösa uppgiften med modulär aritmetik?
Det tycker jag man kan säga, men man kan lösa den utan att veta vad moduloaritmetik är också, på samma sätt men med fler ord.
Hur då? Kan du visa med båda sätten? Talet är kongruent med (-1) modulo 10 och (-1) mod 5, men kommer inte längre än så
Om du vet att talet är kongruent med -1 modulo 10 så är du ju så gott som klar. Vilken av siffrorna 0-9 är kongruent med -1 modulo 10?
Anonym_15 skrev:Hur då? Kan du visa med båda sätten? Talet är kongruent med (-1) modulo 10 och (-1) mod 5, men kommer inte längre än så
3^4 "=" 1 mod 10
3^128 = (3^4)^32 "=" 1^64 "=" 1 mod 10
varför talet har resten 1 och därmed slutar på 1.
Alternativt kan du studera sekvensen
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
och studera sista siffran som återkommer periodiskt; 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – ...
128/4=32 så 32 grupper och det sista talet (3^128) har slutsiffra 1.
Laguna skrev:Om du vet att talet är kongruent med -1 modulo 10 så är du ju så gott som klar. Vilken av siffrorna 0-9 är kongruent med -1 modulo 10?
Det är givetvis 1. Men räcker det så? Måste man inte ha någon generell bevismetod som säger att just alla tal som har resten 1 vid division med 10 slutar på 1?
Trinity2 skrev:Anonym_15 skrev:Hur då? Kan du visa med båda sätten? Talet är kongruent med (-1) modulo 10 och (-1) mod 5, men kommer inte längre än så
3^4 "=" 1 mod 10
3^128 = (3^4)^32 "=" 1^64 "=" 1 mod 10
varför talet har resten 1 och därmed slutar på 1.
Alternativt kan du studera sekvensen
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
och studera sista siffran som återkommer periodiskt; 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – ...
128/4=32 så 32 grupper och det sista talet (3^128) har slutsiffra 1.
Ok, men återigen, måste man inte ha någon generell metod som även bevisar detta?
Anonym_15 skrev:Trinity2 skrev:Anonym_15 skrev:Hur då? Kan du visa med båda sätten? Talet är kongruent med (-1) modulo 10 och (-1) mod 5, men kommer inte längre än så
3^4 "=" 1 mod 10
3^128 = (3^4)^32 "=" 1^64 "=" 1 mod 10
varför talet har resten 1 och därmed slutar på 1.
Alternativt kan du studera sekvensen
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
och studera sista siffran som återkommer periodiskt; 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – 3,9,7,1 – ...
128/4=32 så 32 grupper och det sista talet (3^128) har slutsiffra 1.
Ok, men återigen, måste man inte ha någon generell metod som även bevisar detta?
Om
a "=" 1 mod 10
har vi ekvivalent
a = 10n + 1
för något heltal n. Detta visar att a slutar på 1 då 10n alltid slutar på 0, varpå addition med 1 ger slutsiffra 1.
Tack! Alltså kan man istället för nr 1 (på tavlan) använda nr2? Det räcker som bevis?
Detta är istället följande uppgift: bestäm den sista siffran i 8ˆ48. Uppgiften/eller liknande där sista siffran ska bestämmas kan alltid lösas genom att använda mod 10?
Anonym_15 skrev:Detta är istället följande uppgift: bestäm den sista siffran i 8ˆ48. Uppgiften/eller liknande där sista siffran ska bestämmas kan alltid lösas genom att använda mod 10?
Ja. Antingen
8^1 = 8 mod 10
8^2 = 4 mod 10
8^3 = 2 mod 10
8^4 = 6 mod 10
8^5 = 8 mod 10
...
vilket visar på perioden 4 och 48/4=12, 12 grupper om 8,4,2,6 vilket ger slutsiffra 6
Eller
8^48 = (8^4)^12 = 6^12 =6 mod 10
("=" får ersättas med rätt tecken).
