Gator i New York. Antal vägar.

Hur vi än går till byggnaden måste vi gå uppåt 7 gånger och till höger 3 gånger. Vi kan tänka oss då att vi har 10 "steg" att fördela, där 7 ska vara uppåt och 3 åt höger. Antalet sätt att gå kan då representeras som att välja ut högerstegen, vilket kan göras på $\displaystyle \binom{10}3$ sätt.

Okej, är med på alla sätt man kan gå men hur det representeras matematiskt förstår jag inte.

Eller, ja.

Jag försökte själv och fick det till 7! +(7×6×5). Det blev lite mer än det rätta svaret :p

Du har 10 steg att ta, och 3 av dem behöver vara framåt, resten blir automatiskt uppåt. Så när du väljer första steget kan det väljas på 10 sätt, nästa 9, sen 8.

Men säg att du först väljer steg 7, sen steg 3, sen steg 1 tex. 

En annan gång väljer du först steg 3, sen steg 1, sen steg 7.

Då har du valt på olika sätt men fått fram samma väg. För att få bort alla dubletter så delar vi med hur många olika sätt du kan beskriva en och samma väg, alltså 3*2*1 sätt. 

Då kommer vi fram till 10*9*8/(3*2*1). Det är samma sak som (10,3), alltså att du väljer ut 3 st av 10 möjliga. 

Tack, men jag förstår inte vad du menar med dubbletter 

Att du har beskrivit samma väg två gånger, fast i olika ordning, som i de två exemplen jag skrev.

Okej 

Du tänker liksom att jag beskriver vägen dit fast baklänges, eller att jag börjar i mitten och sedan Beskriver början och slutet av vägen. Men lägger man ihop alla sträckor så är det en och samma väg?

Kan du berätta hur du räknade? 

Uppgiften är för svår för mig, jag klarade inte att räkna någonting alls. Eller jag kan fortfarande inte, om jag inte rakt av härmar formeln då.

Men jag kan nästan förhålla mig till den om jag tänker att man ska gå 10 steg, och bland dessa 10 steg måste 3 vara åt höger. Och 7 rakt på.

Så

r r r r r r r h h h 

Sen måste jag tänka på hur många sätt dom här h:na kan sorteras, hur många kombinationer som finns utan dubbletter. Räknar jag 10! Kommer jag räkna med att alla h är unika, men då de i praktiken representerar samma sak blir det inte en korrekt beräkning.

Så..då...Nej. Jag kan fortfarande inte göra det, jag förstår inte🤷

Så jag tror du är med på vad formeln (10,3) kommer ifrån, men inte hur den räknas ut? Att vi väljer 3 av de 10 platserna att sätta ut våra h på? 

Jag är nästan med på det, men förstår inte fullt ut eftersom jag inte kan förklara med egna ord vad man gör för någonting.

Men, jo, jag är med på att det måste vara 3 stycken h med i de 10 stegen. Det är väl ungefär det jag är helt med på. Och jag är med på att exempelvis hrrrrrrrhh, kan dyka upp 3(6 gånger ?)gånger (om vi utgår från att r är i samma ordning där), och att alla 3(6) då representerar exakt samma sak så dubbletterna måste divideras bort ifrån beräkningen.

Dkcre skrev:

Uppgiften är för svår för mig, jag klarade inte att räkna någonting alls. Eller jag kan fortfarande inte, om jag inte rakt av härmar formeln då.

Men jag kan nästan förhålla mig till den om jag tänker att man ska gå 10 steg, och bland dessa 10 steg måste 3 vara åt höger. Och 7 rakt på.

Så

r r r r r r r h h h 

Sen måste jag tänka på hur många sätt dom här h:na kan sorteras, hur många kombinationer som finns utan dubbletter. Räknar jag 10! Kommer jag räkna med att alla h är unika, men då de i praktiken representerar samma sak blir det inte en korrekt beräkning.

Så..då...Nej. Jag kan fortfarande inte göra det, jag förstår inte🤷

Om vi först ser på ett annat "klassiskt" problem som brukar förekomma i uppgifterna.

Givet 7 r och 3 h. Hur många "ord" kan du bilda av dessa?

Okej..

Så om jag tar alla 10 permutationer.. detta medför dubbletter eftersom alla h och r kommer räknas flera gånger, men det är ju samma sak då de representerar samma sak. Så det måste divideras bort på något sätt. 

Men vi har 10! Först.

7 saker kan sorteras på 7! Sätt. Och 3 kan sorteras på 3! Sätt. Då finns det bara två stycken kombinationer här egentligen om man ser till båda grupperna. Men tillsammans kan de blandas lite hur som helst.

I alla fall, så om jag multiplicerar ihop båda mängden sorteringar och dividerar med det så har jag liksom eliminerat samma.

Så jag tror det är 10!/(7!*3!)

Det är helt rätt tänkt!

Detta kan vi nu koppla till kartproblemet. Varje "ord" är en väg på kartan alltså finns det 10!/(7!*3!) vägar.

Detta kan även skrivas som

10 över 3

eller 

10 över 7

beroende på hur man ser på faktorerna i nämnaren. Fundera lite på varför 

10 över 3 = 10 över 7

rent logiskt, utöver det numeriska

Tack 🙂

Ja. Försökte det tidigare för jag förstod inte det här med symmetrin riktigt, vilket jag inte klarar av. Så jag tänkte mig då att jag tar böcker från en bokhylla (100 99) böcker och jämförde med (100 1) bok.

I första då så kommer man alltid lämna 1 bok i hyllan, och det finns 100 stycken böcker som ska lämnas kvar för att gå igenom alla tänkbara kombinationer.

I andra så lämnar man 99 böcker och tar 1 bok först, men sedan har man ju 99 böcker till att ta ut 1 åt gången utav. Vilket ger lika många alternativ som första. Vilket ger symmetri.

Sen bör man väl egentligen understryka att det ändå är helt olika saker. Och sen har jag svårt att föra över ovan resonemang till alla scenarion då.. men kan acceptera då att det i alla fall är så. Ja, att symmetri gäller med avseende på antal kombinationer.

Dkcre skrev:

Tack 🙂

Ja. Försökte det tidigare för jag förstod inte det här med symmetrin riktigt, vilket jag inte klarar av. Så jag tänkte mig då att jag tar böcker från en bokhylla (100 99) böcker och jämförde med (100 1) bok.

I första då så kommer man alltid lämna 1 bok i hyllan, och det finns 100 stycken böcker som ska lämnas kvar för att gå igenom alla tänkbara kombinationer.

I andra så lämnar man 99 böcker och tar 1 bok först, men sedan har man ju 99 böcker till att ta ut 1 åt gången utav. Vilket ger lika många alternativ som första. Vilket ger symmetri.

Sen bör man väl egentligen understryka att det ändå är helt olika saker. Och sen har jag svårt att föra över ovan resonemang till alla scenarion då.. men kan acceptera då att det i alla fall är så. Ja, att symmetri gäller med avseende på antal kombinationer.

Tänk så här:

Det är ett binärt beslutande. Antingen så är en position i ordet ett "h" eller ett "r". Det finns INGA andra möjligheter än h och r.

Du har nu två val:

1. Du placerar ut 3 h och sedan MÅSTE resten fyllas med 7 r, det finns inget annat val för "utfyllnaden". Detta kan göras på "10 över 3" olika sätt.

2. Du placerar ut 7 r och sedan MÅSTE resten fyllas med 3 h, det finns inget annat val för "utfyllnaden".Detta kan göras på "10 över 7" olika sätt.

Dessa är helt likvärdiga, det är bara 2 olika sätt att se på hur man skall "fylla ut positioner", antingen startar du med h eller så startar du med 3. Slutresultatet blir detsamma.

Vi har samma (typ) resonemang vid t.ex. val av fotbollslag. Säg att man har en klass med 22 elever och man skall välja ut 2 fotbollslag. Lagkapten A kan du vålja ut sina 11 spelare, vad skall sedan Lagkapten B göra? Vad kan han göra? Han får ju ta de som är kvar. Vi har samma sak med h/r. Välj vad du vill göra, placera ut r eller h, vad du än väljer, så blir övriga positioner fyllda av "resten".

Yes, snyggt.

Tror man även kan tänka att antalet sätt att välja någonting från en mängd, borde vara likvärdigt med antalet sätt att inte välja det övriga som är kvar. Ungefär. 

Dkcre skrev:

Yes, snyggt.

Tror man även kan tänka att antalet sätt att välja någonting från en mängd, borde vara likvärdigt med antalet sätt att inte välja det övriga som är kvar. Ungefär. 

Exakt. Att välja UT ett lag = att välja BORT de man INTE vill ha.