Gaus sats för vektorflödet

Integrationsområdet är ytan av en sfär med medelpunkt i $(0,0,1)$. Flytta därför origo till denna punkt, så blir det lättare att utnyttja symmetrin.

Du har kommit fram till att $\nabla \cdot A=3(x^2+y^2)+3(z-1)^2$. Inför alltså koordinatbytet

$x_1=x$
$y_1=y$
$z_1=z-1$,

och därmed $\nabla \cdot A=3(x_1^2+y_1^2+z_1^2)=3r_1^2$. Nu kan du byta till sfäriska koordinater $(r_1,\theta_1,\varphi_1)$ runt punkten (0,0,1) och beräkna 

$\displaystyle \int_V \left(\nabla \cdot A\right)\,\mathrm{d}V$

D4NIEL skrev:

Integrationsområdet är ytan av en sfär med medelpunkt i $(0,0,1)$. Flytta därför origo till denna punkt, så blir det lättare att utnyttja symmetrin.

Du har kommit fram till att $\nabla \cdot A=3(x^2+y^2)+3(z-1)^2$. Inför alltså koordinatbytet

$x_1=x$
$y_1=y$
$z_1=z-1$,

och därmed $\nabla \cdot A=3(x_1^2+y_1^2+z_1^2)=3r_1^2$. Nu kan du byta till sfäriska koordinater $(r_1,\theta_1,\varphi_1)$ runt punkten (0,0,1) och beräkna 

$\displaystyle \int_V \left(\nabla \cdot A\right)\,\mathrm{d}V$

Hm vad menar du med att flytta origo till punkten? Jag är med på koordinatbytet och så. Det hade inte jag alls tänkt på att man kan göra så. 

Det jag tycker du gjorde fel i din första lösning är att du inte tog hänsyn till att sfären ligger i punkten $(0,0,1)$ utan räknade som om den var en sfär med centrum i $(0,0,0)$

Eftersom integrationsområdet är ytan av en sfär med medelpunkt i $(0,0,1)$ bör vi utgå från denna punkt. Vi inför

$\mathbf{r}=(0,0,1)+\mathbf{r}_1$

Notera att du från början har ytan till sfären $S:\,\, |\mathbf{r}-\hat{z}|=1$, nu kan detta villkor ses som $S:\,\, |\mathbf{r}_1|=1$.

med $\mathbf{r}_1=(x_1,y_1,z_1)$ är detta ett koordinatbyte

$x=x_1$
$y=y_1$
$z-1=z_1$

och den sökta integralen blir

$\displaystyle\iiint_V 3\left(x_1^2+y_1^2+z_1^2\right)\,\mathrm{d}x_1\mathrm{d}y_1\mathrm{d}z_1$

För att slutligen göra integralen ännu enklare kan vi följa planen och byta till sfäriska koordinater runt punkten $(0,0,1)$ med $V:\,\, |\mathbf{r}_1|<1$

D4NIEL skrev:

Det jag tycker du gjorde fel i din första lösning är att du inte tog hänsyn till att sfären ligger i punkten $(0,0,1)$ utan räknade som om den var en sfär med centrum i $(0,0,0)$

Eftersom integrationsområdet är ytan av en sfär med medelpunkt i $(0,0,1)$ bör vi utgå från denna punkt. Vi inför

$\mathbf{r}=(0,0,1)+\mathbf{r}_1$

Notera att du från början har ytan till sfären $S:\,\, |\mathbf{r}-\hat{z}|=1$, nu kan detta villkor ses som $S:\,\, |\mathbf{r}_1|=1$.

med $\mathbf{r}_1=(x_1,y_1,z_1)$ är detta ett koordinatbyte

$x=x_1$
$y=y_1$
$z-1=z_1$

och den sökta integralen blir

$\displaystyle\iiint_V 3\left(x_1^2+y_1^2+z_1^2\right)\,\mathrm{d}x_1\mathrm{d}y_1\mathrm{d}z_1$

För att slutligen göra integralen ännu enklare kan vi följa planen och byta till sfäriska koordinater runt punkten $(0,0,1)$ med $V:\,\, |\mathbf{r}_1|<1$

Ja okej då är jag med.