19 svar
184 visningar
K.Ivanovitj 361
Postad: 15 apr 2018

Gauss

Hej

jag har en uppgift där man ska använda sig av Gauss sats för att beräkna flödet. 

Beräkna flödet av F då vi vet att F=-12x2+xy, xy+y2,-3yz-3 

genom ytan x2+y2+z2=3,   z0

Enligt Gauss sats får vi ju att F*n ds=*Fdv

men jag är inte med på hur jag ska använda det i detta fall.

Svaret ska bli -9π

SeriousCephalopod 686
Postad: 15 apr 2018

Har du tagit fram uttrycket för fältets divergens? Dvs det du stoppar in i Gauss sats högerled. 

I vilket steg var det du körde fast/fick problem?

K.Ivanovitj 361
Postad: 15 apr 2018

ja jag fick a=-1/2 och b=-3 till F=ax2+xy,xy+y2,byz+b

det jag inte förstår är hur vi får -9pi ur informationen vi har. Om man vet att F=-12x2+xy,xy+y2,-3yz-3 ska vi alltså integrera F m.h.a trippelintegralen? och hur får vi värdet på *F

SeriousCephalopod 686
Postad: 15 apr 2018

Ekvation två i definitionsavsnittet

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Divergens_(vektoranalys)

Divergensen är ett mått på hur fältet varierar i rummet men beräknas praktiskt genom att ta summanav komponenternas partialderivata i motsvarande riktning.

K.Ivanovitj 361
Postad: 16 apr 2018

ska man då sätta för den partiella derivatan av x -x+2y2x och sedan göra likadant för y och z

Guggle 1178
Postad: 16 apr 2018 Redigerad: 16 apr 2018

En operator är en tillordningsregel som till en funktion i en mängd, t.ex. de skalära fälten i 3 \mathbb{R}^3 , ordnar en funktion i en annan mängd, t.ex. vektorfälten i 3 \mathbb{R}^3 .

Gradientoperatorn \nabla   är en sådan operator. Symbolen brukar kallas del- eller nablaoperatorn. Den ser ut så här:

=x,y,z=x^x+y^y+z^z \displaystyle \nabla = \left(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}\right)=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}

Den är både en deriveringsoperator och en vektor.

Divergensen av fältet F F ges av ·F \nabla \cdot \mathbf{F} , dvs skalärprodukten av nabla och fältet F.

·F=x,y,z·-12x2+xy,xy+y2,-3yz-3 \displaystyle \nabla\cdot \mathbf{F} = \left(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot \left( -\frac{1}{2}x^2+xy,xy+y^2,-3yz-3 \right)

 I en skalärprodukt multipliceras och summeras komponenterna parvis, alltså får du

·F=x-12x2+xy+yxy+y2+z-3yz-3 \displaystyle \nabla\cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{2}x^2+xy \right )+ \frac{\partial }{\partial y}\left( xy+y^2 \right)+ \frac{\partial }{\partial z}\left( -3yz-3\right) .

Det visar sig att divergensen av fältet blir ett tal  som förenklar räkningarna, vad?

Slutligen gäller att summan av (integralen av) flödet ut från kroppens samtliga begränsningsytor ska vara lika med integralen av div F i den inneslutna volymen (Gauss lag).  Hur många begränsningsytor har du? Hur ska du gå vidare?

K.Ivanovitj 361
Postad: 16 apr 2018

jag vet inte om jag förstår sista steget, om jag tar derivatan med avseende på x får jag (-x+xy) m.a.p.y (x+2y) m.a.p.z (-3y) och totalt får vi då xy-y, men vilket tal är det du menar?

Guggle 1178
Postad: 16 apr 2018 Redigerad: 16 apr 2018
K.Ivanovitj skrev :

jag vet inte om jag förstår sista steget, om jag tar derivatan med avseende på x får jag (-x+xy) m.a.p.y (x+2y) m.a.p.z (-3y) och totalt får vi då xy-y, men vilket tal är det du menar?

derivatan med avseende på x är (-x+y), map y (x+2y) och map z (-3y). Totalt får vi

  ·F=-x+y+x+2y-3y=3y-3y=0 \nabla \cdot \mathbf{F}=\cancel{-x}+y+\cancel{x}+2y-3y=3y-3y=0

Talet jag menar är alltså 0. Det betyder att summan av inflöde och utflöde genom begränsningsytorna ska vara 0. Det är flödet genom den ena begränsningsytan du ska beräkna (om du inte redan gjort det bör du rita upp en figur så du ser hur kroppen ser ut).

K.Ivanovitj 361
Postad: 16 apr 2018

jag ritade ut x2+y2+z2=3, z0 och det blir ju en sfär med x-koordinat mellan -1 och 1 och y koordinat mellan -1 och 1 dock har vi inget negativt värde på z.

När jag försökte lösa denna uppgift fastnade jag i att jag fick svaret noll då jag har a=-1/2 och b=-3 alltså i detta läge då vi har lika inflöde och utflöde, därför förstår jag inte hur man ska få fram svaret -9pi

Dr. G 3128
Postad: 16 apr 2018

För att använda Gauss sats måste ytan innesluta en volym. Lägg därför till en yta så att du får en sluten volym. Det finns en sådan yta som gör räkningarna smidiga.

K.Ivanovitj 361
Postad: 16 apr 2018

jag såg i ett annat exempel då det inte heller fanns en sluten yta till sfären x2+y2+z2=4, z0 och man kunde då lägga till en yta x2+y24, z=0

kan vi då på liknande sätt lägga till ytan x2+y23,  z=0

Guggle 1178
Postad: 16 apr 2018

Ja exakt så. Tänk också på att ytans normalriktning ska peka ut från volymen, dvs i negativ z-led.

Kan du ställa upp ytintegralen över "bottenplattan"? Denna tillsammans med det sökta flödet genom sfärens yta ska alltså vara 0.

K.Ivanovitj 361
Postad: 16 apr 2018

Först är jag lite osäker med integralerna vi ska väl få att sF*nds=s+s1F*nds-s1F*nds=v0dxdydz-s1F*nds=-s1F*nds

att vi får ett negativt tecken framför dubbelintegralen är det eftersom vi går i negativ z-led? och att vi har en nolla framför dxdydz är det eftersom divergensen är noll?

Vi får då i detta fall -s1F*nds=-s1-0.5x2+xy,xy+y2,-3yz-3×n

då återstår det att bestämma normalen. Då z är noll kan vi då ha normalen (0.0.1) eller (0.0.-1) ?

Guggle 1178
Postad: 16 apr 2018 Redigerad: 16 apr 2018
K.Ivanovitj skrev :

 

att vi får ett negativt tecken framför dubbelintegralen är det eftersom vi går i negativ z-led? och att vi har en nolla framför dxdydz är det eftersom divergensen är noll?

Du verkar tänka någorlunda rätt och har förstått det mesta, men jag får inte riktigt ihop dina beteckningar. Det är enklast att låta ytornas vektoriella areaelement styra riktningen under förutsättningarna i Gauss sats. Låt oss kalla bottenytan S1 S_1 och sfären S2 S_2 . Då säger Gauss sats:

S1F·dS1+S2F·dS2=V·FdV \displaystyle \int_{S_1} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_1}+\displaystyle \int_{S_2} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_2}=\int_{V}\nabla \cdot \mathbf{F}\, \mathrm{d}V

Eftersom divergensen av F är 0 är alltså det sökta flödet genom S2 S_2

S2F·dS2=-S1F·dS1 \displaystyle \int_{S_2} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_2}=\displaystyle -\int_{S_1} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_1}

Vi får då i detta fall -s1F*nds=-s1-0.5x2+xy,xy+y2,-3yz-3×n

då återstår det att bestämma normalen. Då z är noll kan vi då ha normalen (0.0.1) eller (0.0.-1) ?

Ja, man väljer dS1=(0,0,-1)dxdy \mathrm{d}\mathbf{S_1}=(0,0,-1)dxdy eftersom ytans normalriktning ska  vara utåtriktad (Gauss sats), alltså blir integralen (tänk på att z=0)

-S1F·dS1=-S1(0+0+3)dxdy \displaystyle -\int_{S_1} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_1}=-\iint_{S_1}(0+0+3)\,dxdy

K.Ivanovitj 361
Postad: 16 apr 2018

ska vi då sedan sätta dubbelintegralen till 0302π3dxdy

men då får jag det till -18pi

Guggle 1178
Postad: 16 apr 2018 Redigerad: 16 apr 2018

Nej, nu glömde du skalfaktorn i bytet till polära koordinater.  Antingen vet du att arean av cirkeln är π(3)2=3π \pi (\sqrt{3})^2=3\pi och multiplicerar med -3 eller också får du byta till polära koordinater, så här:

K.Ivanovitj 361
Postad: 17 apr 2018

okej då förstår jag hur vi får -9pi

När vi beräknar -0.5x2+xy,xy+y2,-3yz-3×0,0,-1=0+0+3dxdy multiplicerar man ihop det enligt -0.5x2+xy×0+xy+y2×0+-3yz-3×-1 men då borde vi ju få 3yz+3 och inte bara 3 kvar.

eller ersätter vi x,y,z med 0,0,-1 och sätter in i F så att vi får -0.5×02+0×0,0×0+02,-3×0×-1 -3=-3

Guggle 1178
Postad: 17 apr 2018 Redigerad: 17 apr 2018
K.Ivanovitj skrev :

okej då förstår jag hur vi får -9pi

När vi beräknar -0.5x2+xy,xy+y2,-3yz-3×0,0,-1=0+0+3dxdy multiplicerar man ihop det enligt -0.5x2+xy×0+xy+y2×0+-3yz-3×-1 men då borde vi ju få 3yz+3 och inte bara 3 kvar.

Ja skalärprodukten "blir" 3yz+3. Men kom ihåg att för hela den cirkelformade bottenplattan som du själv la dit för att få en sluten volym (nödvändigt för Gauss sats) gäller z=0. Spana själv in ditt inlägg här

Alltså blir det bara 3  kvar av skalärprodukten mellan ytans normal och och fältet. Denna 3:a ska sedan integreras över hela bottenplattans yta. Är du med på det?

K.Ivanovitj 361
Postad: 17 apr 2018

ja nu förstår jag, och för att motivera byte till polära koordinater i slutet, är det eftersom vi har ett bestämt avstånd i detta fall då 3 samt att vi beräknar flödet genom en sfär

Guggle 1178
Postad: 19 apr 2018 Redigerad: 19 apr 2018

Vi använder polära koordinater eftersom integralen vi ska beräkna är:

-3S1dxdy -3\iint_{S_1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

Där området S1 S_1 är den bottenplatta du la dit för att sluta volymen. Området S1 S_1 är en cirkel med radien 3 \sqrt3 i xy-planet.

Arean av området är π·(3)2=3π \pi \cdot (\sqrt{3})^2=3\pi . Alltså blir integralen trivialt -3·3π=-9π -3\cdot 3\pi=-9\pi .

Om man ändå vill räkna ut integralen kan man byta till polära koordinater och räkna ut integralen över området på vanligt sätt som jag visade ovan.

Svara Avbryt
Close