Gauss.

Jag förstår inte varför du tänker dig att det är "locket". Tänk dig ett enklare fall, nämligen ${\mathrm{ℝ}}^2$. Här kan vi beskriva en cirkel genom $x^2+y^2=r^2$. Vi vill nu lösa ut $y$ och får då $y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$. Kan du säga mig vilken del av cirkeln som beskrivs av den negativa respektive positiva delen av $y$ i detta fall?

Ser du likheten med sfären i ${\mathrm{ℝ}}^3$?

Om AlvinB vore här kunde han säkert fixa sina fina illustrationer som är mycket bättre än min vaga förklaring, men man gör väl sitt bästa/ett försök i alla fall :)

Nej, locket är den övre gränsen där z=0.

Nyckeln till varför $z$-gränserna ser ut som de gör är att området har villkoret $z\leq0$. Detta gör att vi får en halvsfär som ligger under $xy$-planet:

Att man får gränserna $z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$ och $z=0$ beror alltså på att vårt område går från ytan $z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$ upp till $z=0$ ($xy$-planet).

Notera skillnaden om vi istället haft villkoret $z\geq0$. Då hade området sett ut så här:

och då hade gränserna istället blivit $z=0$ till $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$.

AlvinB skrev:

Nyckeln till varför $z$-gränserna ser ut som de gör är att området har villkoret $z\leq0$. Detta gör att vi får en halvsfär som ligger under $xy$-planet:

Att man får gränserna $z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$ och $z=0$ beror alltså på att vårt område går från ytan $z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$ upp till $z=0$ ($xy$-planet).

Notera skillnaden om vi istället haft villkoret $z\geq0$. Då hade området sett ut så här:

och då hade gränserna istället blivit $z=0$ till $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$.

 Tack för en excellent förklaring <3