Gauss sats

r är en normal till sfären, men satsen kräver att $\hat{N}$ är en enhetsnormal, så vi får normera r genom att dela med radien a.

Nej, S är sfären (en yta, tvådimensionell) och B är det klot (en volym, tredimensionell domän) till vilket sfären utgör en rand (boundary) .

För att använda Gauss sats så vill vi hitta på ett fält F sådant att F•$\hat{\mathit{N}}$= x² + y². De hittar på ett sådant fält F.

PATENTERAMERA skrev:

r är en normal till sfären, men satsen kräver att $\hat{N}$ är en enhetsnormal, så vi får normera r genom att dela med radien a.

Nej, S är sfären (en yta, tvådimensionell) och B är det klot (en volym, tredimensionell domän) till vilket sfären utgör en rand (boundary) .

För att använda Gauss sats så vill vi hitta på ett fält F sådant att F•$\hat{\mathit{N}}$= x² + y². De hittar på ett sådant fält F.

Hittar vi inte normalen genom de partiella derivatorna så att N=(2x,2y,2z)

Jo, det är också en normal.

Men hatten på $\hat{N}$ betyder att vi vill att den ska vara av enhetslängd.

Din föreslagna normal är inte av enhetslängd. Längden av din normal är

$\|(2x,2y,2z)\|=\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}=2\sqrt{x^2+y^2+z^2}=2a$

Alltså $\hat{N}=\frac{1}{2a}(2x,2y,2z)=\frac{(x,y,z)}{a}$

Så du och boken är helt överens om du går med på att normera din normal!

Cien skrev:

PATENTERAMERA skrev:

r är en normal till sfären, men satsen kräver att $\hat{N}$ är en enhetsnormal, så vi får normera r genom att dela med radien a.

Nej, S är sfären (en yta, tvådimensionell) och B är det klot (en volym, tredimensionell domän) till vilket sfären utgör en rand (boundary) .

För att använda Gauss sats så vill vi hitta på ett fält F sådant att F•$\hat{\mathit{N}}$= x² + y². De hittar på ett sådant fält F.

Hittar vi inte normalen genom de partiella derivatorna så att N=(2x,2y,2z)

Jag tror de tycker att det är självklart direkt från geometrin att r är en utåtriktad normal då man befinner sig på en sfär med centrum i origo. Sedan behöver man bara normera för att få enhetsnormalen $\hat{\mathit{N}}$, vilket krävs av Gauss sats.

D4NIEL skrev:

Jo, det är också en normal.

Men hatten på $\hat{N}$ betyder att vi vill att den ska vara av enhetslängd.

Din föreslagna normal är inte av enhetslängd. Längden av din normal är

$\|(2x,2y,2z)\|=\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}=2\sqrt{x^2+y^2+z^2}=2a$

Alltså $\hat{N}=\frac{1}{2a}(2x,2y,2z)=\frac{(x,y,z)}{a}$

Så du och boken är helt överens om du går med på att normera din normal!

Tack nu klarna allt till :) Till trippelintegralen med 2a dV är det bara att använda sfäriska koordinater här?

Du behöver inte integrera. Eftersom 2a är en konstant så kan du flytta den utanför integralen och får då

2a$\int {\int }_B\int dV$= 2a x (Volymen av klotet B) = 2a(4/3)$\pi$a³ = (8/3)$\pi$a⁴.