32 svar
167 visningar
mrlill_ludde är nöjd med hjälpen!
mrlill_ludde 761
Postad: 12 dec 2018

Gauss sats, rymdpolära or not.

Varför måste man gå över till rymdpolära koordinater för denna? jag satt och beräknade att 

r[0,2],θ[0,2π],z[0,4-z2]r \in [0,2] , \theta \in [0,2\pi], z \in [0, \sqrt{4-z^2}] 
varför kan man inte räkna så?

Om du lyckades få fram rätt svar, så kan man räkna så. Den som har skrivit facit tyckte det var lättare att göra på det andra sättet.

mrlill_ludde 761
Postad: 12 dec 2018
Smaragdalena skrev:

Om du lyckades få fram rätt svar, så kan man räkna så. Den som har skrivit facit tyckte det var lättare att göra på det andra sättet.

 Jaha okej, så det är rätt och göra så. DÅ har jag räknat fel någonstans. Är inte så bekväm med sfäriska (..yet hehe)

Då är det en bra anledning att räkna med dem.

Det finns nästan alltid mer än ett sätt att lösa en viss uppgift i matematik. När jag pluggade matte för många år sedan, satt jag i flera timmar och försökte lösa en uppgift - jag var tvungen att själv fundera ut hur jag skulle flytta och rotera en kropp i ett koordinatsystem för att kunna beräkna svaret. Jag slet en evighet, och fick till slut fram rätt svar. Min kompis hade läst en sida längre i läroboken. Hon skrev en lösning på två rader. Jag tror trots allt att jag lärde mig mer!

mrlill_ludde 761
Postad: 12 dec 2018
Smaragdalena skrev:

Då är det en bra anledning att räkna med dem.

Det finns nästan alltid mer än ett sätt att lösa en viss uppgift i matematik. När jag pluggade matte för många år sedan, satt jag i flera timmar och försökte lösa en uppgift - jag var tvungen att själv fundera ut hur jag skulle flytta och rotera en kropp i ett koordinatsystem för att kunna beräkna svaret. Jag slet en evighet, och fick till slut fram rätt svar. Min kompis hade läst en sida längre i läroboken. Hon skrev en lösning på två rader. Jag tror trots allt att jag lärde mig mer!

 Hmmm.. jag förstår.

Det känns som att man måste ha mer koll på sfäriska koordinater, än att göra så som jag gjorde. Nackdelen/risken är ju att man dock räknar fel någonstans på vägen. Än att bara direkt slänga in sfäriska koordinater utan att ha koll på hur kroppen blir då med det bytet. 

Man behöver ha koll på sfäriska koordinater, så är det bara. Träna, träna, träna (trist).

mrlill_ludde 761
Postad: 13 dec 2018 Redigerad: 13 dec 2018
Smaragdalena skrev:

Man behöver ha koll på sfäriska koordinater, så är det bara. Träna, träna, träna (trist).

Aaa nu försöker jag se ett mönster, ett slags "okej, det här kommer bli jättekonstigt, mkt krångliga uträkningar osv osv" och börjar fatta lite mer nu. Men jag kommer fortf till denna uppg. Jag gör så här:

z[0,4-z2],θ[0,pi2],r[0,2]z \in [0, \sqrt{4-z^2}], \theta \in [0, \frac{pi}{2}], r \in [0,2] och gör polära koordinater. 

DivF =3(x2+y2+z2)3(x^2+y^2+z^2) så vi kommer jobba med tre integraler, (pga. normalen blev lite konstigt och vad jag kan tänka mig - svår räknad: N=(-1,-3y2,3z3)N = (-1, -3y^2, 3z^3) (rätta mig gärna om jag gör fel, eller om jag tänker fel)

Så polära koordinater. 

Här tycker jag det blir konstigt.. 

3020π/2(04-z2z2dz)rdrdθ

Liksom om jag integrerar detta, subsistutera in dessa gränser. Så får jag ingen relation med varken θ\theta eller rr., så man kan fortsätta räknandet. 

Så vad är det som blir konstigt (alltså det ska ju fungera med detta sätt också, istället för sfäriska, men försker bara förstå här, hehe) 

Smaragdalena 26363 – Moderator
Postad: 13 dec 2018 Redigerad: 13 dec 2018

Om du har polära koordinater skall du inte ha kvar något z. Du kanske tänker på cylindriska koordinater?

Laguna 4989
Postad: 13 dec 2018

z tillhör intervallet [0 till roten ur 4-z^2] ser väldigt konstigt ut. Är det samma z?

Vad beträffar polärt och z så kan man använda polära för bara x och y, men låta z vara. Det heter cylindriska koordinater. Om det är det du vill använda här vet jag inte.

mrlill_ludde 761
Postad: 13 dec 2018 Redigerad: 13 dec 2018
Smaragdalena skrev:

Om du har polära koordinater skall du inte ha kvar något z. Du kanske tänker på cylindriska koordinater?

Aaa menar det.

mrlill_ludde 761
Postad: 13 dec 2018
Laguna skrev:

z tillhör intervallet [0 till roten ur 4-z^2] ser väldigt konstigt ut. Är det samma z?

Vad beträffar polärt och z så kan man använda polära för bara x och y, men låta z vara. Det heter cylindriska koordinater. Om det är det du vill använda här vet jag inte.

 aha okej, så när jag vill ha kvar z så blir det cylindriska.. 
 
Men fortfarande återstår. Hur skall det se ut? 

mrlill_ludde skrev:
Smaragdalena skrev:

Om du har polära koordinater skall du inte ha kvar något z. Du kanske tänker på cylindriska koordinater?

Aaa menar det.

 Du menar nog att z ligger i intervallet från 0 till 4-r2.

mrlill_ludde 761
Postad: 13 dec 2018

 

Smaragdalena skrev:
mrlill_ludde skrev:
Smaragdalena skrev:

Om du har polära koordinater skall du inte ha kvar något z. Du kanske tänker på cylindriska koordinater?

Aaa menar det.

 Du menar nog att z ligger i intervallet från 0 till 4-r2.

Hmm... 

varför blir zz det intervallet? (& typ inte tex. θ\theta?) 

 

för det jag känner till med cylindriska är: 

Transformering till kartesiska koordinater sker genom

x=rcos⁡θ
y=rsin⁡θ
z=h
och för volymelementet gäller

dV=rdrdθdh

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Om man byter namn på z till h är det h som skall ha det intervallet. 

Om R är halvsfärens radie skall variabeln r gå från 0 till R. När r = R är h = 0. När r = 0 är man i toppen av halvklotet. Jag kan ha missar ett rottecken över alltihop, skall kolla det när jag kommer till en dator - jag får dålig överblick på mobilen. 

Det skall vara 0h4-r20\le h\le\sqrt{4-r^2}.

mrlill_ludde 761
Postad: 13 dec 2018
Smaragdalena skrev:

Det skall vara 0h4-r20\le h\le\sqrt{4-r^2}.

 ja jaa! Okej. Jag ska kolla på det här lite närmare. hehe. På återseende =)

mrlill_ludde 761
Postad: 30 dec 2018 Redigerad: 30 dec 2018
Smaragdalena skrev:

Det skall vara 0h4-r20\le h\le\sqrt{4-r^2}.

 Nu har jag räknat.. Och  hur ska jag komma förbi det här  nu? tips? 

Krånglar jag till det?

För det här finns ju inte heller någon symmetri eller? kan jag kapa r/4-r)3/23)r\frac{/4-r)^{3/2}}{3}) å således bara få r3*sqrt4r-r4r^3*sqrt{4r-r^4} kvar?  och även där 'kapa' r3r^3 också pga symmetri, och få endast 4r-r3\sqrt{4r-r^3}??

Krånglar jag till det?

Ja. Du borde gå över till sfäriska koordinater, precis som man gjort i facit, så skulle du ha fått mycket enklare beräknangar.

mrlill_ludde 761
Postad: 6 jan 2019 Redigerad: 6 jan 2019
Smaragdalena skrev:

Krånglar jag till det?

Ja. Du borde gå över till sfäriska koordinater, precis som man gjort i facit, så skulle du ha fått mycket enklare beräknangar.

Okej, nu har jag kollat på det här talet. (tagit lite julledigt)

Då ser jag följande:

r är ju lätt och se det är ju bara r[0,2]r \in [0,2]

när det kommer till fi (tror den heter fi va?)  och theta, så tycker jag det blir lite krångligare. Om jag har min funktion

x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 hur ska jag tänka där då?  

Laguna 4989
Postad: 6 jan 2019

Den uttalas fi. Jag brukar skriva phi, men fi kanske också går bra.

AlvinB 3041
Postad: 6 jan 2019
mrlill_ludde skrev:
Smaragdalena skrev:

Krånglar jag till det?

Ja. Du borde gå över till sfäriska koordinater, precis som man gjort i facit, så skulle du ha fått mycket enklare beräknangar.

Okej, nu har jag kollat på det här talet. (tagit lite julledigt)

Då ser jag följande:

r är ju lätt och se det är ju bara r[0,2]r \in [0,2]

när det kommer till fi (tror den heter fi va?)  och theta, så tycker jag det blir lite krångligare. Om jag har min funktion

x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 hur ska jag tänka där då?  

Enligt definitionerna i din bild så är:

  • rr radien. Eftersom vår kropp är en halvsfär med radie 22 kommer denna att variera mellan 00 och 22.
  • φ\varphi vinkeln mellan zz-axeln och radien (kolatituden). Då vi har en halvsfär kommer denna att variera mellan 00 och π/2\pi/2
  • θ\theta vinkeln mellan xx-axeln och radien (longituden). Halvsfären går ju hela varvet runt i xyxy-planet, alltså varierar denna mellan 00 och 2π2\pi.

Notera att i facit har man valt att kalla kolatituden för θ\theta och longituden för φ\varphi istället.

mrlill_ludde 761
Postad: 6 jan 2019 Redigerad: 6 jan 2019
AlvinB skrev:
mrlill_ludde skrev:
Smaragdalena skrev:

Krånglar jag till det?

Ja. Du borde gå över till sfäriska koordinater, precis som man gjort i facit, så skulle du ha fått mycket enklare beräknangar.

Okej, nu har jag kollat på det här talet. (tagit lite julledigt)

Då ser jag följande:

r är ju lätt och se det är ju bara r[0,2]r \in [0,2]

när det kommer till fi (tror den heter fi va?)  och theta, så tycker jag det blir lite krångligare. Om jag har min funktion

x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 hur ska jag tänka där då?  

Enligt definitionerna i din bild så är:

  • rr radien. Eftersom vår kropp är en halvsfär med radie 22 kommer denna att variera mellan 00 och 22.
  • φ\varphi vinkeln mellan zz-axeln och radien (kolatituden). Då vi har en halvsfär kommer denna att variera mellan 00 och π/2\pi/2
  • θ\theta vinkeln mellan xx-axeln och radien (longituden). Halvsfären går ju hela varvet runt i xyxy-planet, alltså varierar denna mellan 00 och 2π2\pi.

Notera att i facit har man valt att kalla kolatituden för θ\theta och longituden för φ\varphi istället.

 Jaha okej, men om vi inte hade en halvsfär, utan en hel då hade ϕ[0,2π]\phi \in [0, 2\pi] eller hur? och om man hade en cylinder också typ? 

 

Men om jag ska räkna ut det där vi vet ju att x2+y2x^2+y^2 i polära är r2r^2 ju.. Men vet inte vad jag ska göra med z2z^2 (försöker att inte bara memorera facit)

 

och vad blir dx,dy,dzdx, dy, dz

AlvinB 3041
Postad: 6 jan 2019 Redigerad: 6 jan 2019

Nej, hade vi haft en hel sfär hade φ[0,π]\varphi\in[0,\pi] eftersom radien skall variera mellan att peka uppåt (φ=0\varphi=0) och att peka nedåt (φ=π\varphi=\pi).

Om vi istället hade haft en cylinder hade det varit svårt att använda sfäriska koordinater. Då är det istället lämpligare att använda cylindriska koordinater.

I planpolära koordinater är som du säger r2=x2+y2r^2=x^2+y^2. Motsvarande samband i sfäriska koordinater är r2=x2+y2+z2r^2=x^2+y^2+z^2.

Volymelementet i sfäriska koordinater är lika med r2sin(φ) drdθdφr^2\sin(\varphi)\ drd\theta d\varphi. Detta kan härledas med Jacobideterminanten.

mrlill_ludde 761
Postad: 6 jan 2019
AlvinB skrev:

Nej, hade vi haft en hel sfär hade φ[0,π]\varphi\in[0,\pi] eftersom radien skall variera mellan att peka uppåt (φ=0\varphi=0) och att peka nedåt (φ=π\varphi=\pi).

Om vi istället hade haft en cylinder hade det varit svårt att använda sfäriska koordinater. Då är det istället lämpligare att använda cylindriska koordinater.

I planpolära koordinater är som du säger r2=x2+y2r^2=x^2+y^2. Motsvarande samband i sfäriska koordinater är r2=x2+y2+z2r^2=x^2+y^2+z^2.

Volymelementet i sfäriska koordinater är lika med r2sin(φ) drdθdφr^2\sin(\varphi)\ drd\theta d\varphi. Detta kan härledas med Jacobideterminanten.

 r2=x2+y2r^2=x^2+y^2 och z2=r2z^2 = r^2 då? alltså får vi r4r^4 som dom säger i lösningen? (vill bara vara helt hundra)

AlvinB 3041
Postad: 6 jan 2019 Redigerad: 6 jan 2019

Nej,

r2=x2+y2r^2=x^2+y^2 gäller enbart i planpolära koordinater (det tvådimensionella koordinatsystemet). I sfäriska koordinater (det tredimensionella koordinatsystemet) finns ett annat samband, nämligen r2=x2+y2+z2r^2=x^2+y^2+z^2.

När vi då går över från kartesiska till byter vi ut x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 mot r2r^2. När detta multipliceras ihop med differentialen r2sin(φ) drdθdφr^2\sin(\varphi)\ drd\theta d\varphi får vi integralen:

3Er4sinφ drdθdφ\displaystyle3\iiint_Er^4\sin\left(\varphi\right)\ drd\theta d\varphi

mrlill_ludde 761
Postad: 6 jan 2019
AlvinB skrev:

Nej,

r2=x2+y2r^2=x^2+y^2 gäller enbart i planpolära koordinater (det tvådimensionella koordinatsystemet). I sfäriska koordinater (det tredimensionella koordinatsystemet) finns ett annat samband, nämligen r2=x2+y2+z2r^2=x^2+y^2+z^2.

När vi då går över från kartesiska till byter vi ut x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 mot r2r^2. När detta multipliceras ihop med differentialen r2sin(φ) drdθdφr^2\sin(\varphi)\ drd\theta d\varphi får vi integralen:

3Er4sinφ drdθdφ\displaystyle3\iiint_Er^4\sin\left(\varphi\right)\ drd\theta d\varphi

 jaha okej så $$dxdydz = r^2\sin(\varphi)\ drd\theta d\varph$$

Fast om du håller zz konstant, så gäller det att x2+y2=R2x^2+y^2=R^2, där R2=r2-z2R^2=r^2-z^2. Varje snitt vinkelrätt mot zz-axeln är en cirkel.

mrlill_ludde 761
Postad: 6 jan 2019
Smaragdalena skrev:

Fast om du håller zz konstant, så gäller det att x2+y2=R2x^2+y^2=R^2, där R2=r2-z2R^2=r^2-z^2. Varje snitt vinkelrätt mot zz-axeln är en cirkel.

När väljer man att hålla z konstant? 😳 

Smaragdalena 26363 – Moderator
Postad: 6 jan 2019 Redigerad: 6 jan 2019

Det var bara ett försök att få dig att förstå hur klotet ser ut och hur det hänger ihop med de kartesiska och de polära koordinaterna.

mrlill_ludde 761
Postad: 8 jan 2019 Redigerad: 8 jan 2019
AlvinB skrev:

Nej,

r2=x2+y2r^2=x^2+y^2 gäller enbart i planpolära koordinater (det tvådimensionella koordinatsystemet). I sfäriska koordinater (det tredimensionella koordinatsystemet) finns ett annat samband, nämligen r2=x2+y2+z2r^2=x^2+y^2+z^2.

När vi då går över från kartesiska till byter vi ut x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 mot r2r^2. När detta multipliceras ihop med differentialen r2sin(φ) drdθdφr^2\sin(\varphi)\ drd\theta d\varphi får vi integralen:

3Er4sinφ drdθdφ\displaystyle3\iiint_Er^4\sin\left(\varphi\right)\ drd\theta d\varphi

 Men det är en sak som jag må missuppfattar, för 

 

alltså, detta ska ju mulitpliceras, något multiplicerat med 0 är ju 0.. Så hänger inte med...

 

För jag räknade såhär? (jag vet jag har räknat fel på r. men struntsamma) 

 

AlvinB 3041
Postad: 8 jan 2019 Redigerad: 8 jan 2019

Visserligen är cos(π2)=0\cos(\frac{\pi}{2})=0, men cos(0)=1\cos(0)=1!

[-cosφ]0π2=-cosπ2--cos0=0+1=1[-\cos\left(\varphi\right)]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(-\cos\left(0\right)\right)=0+1=1

Dessutom har du missat att x2+y2+z2=r2x^2+y^2+z^2=r^2 och inte x2+y2+z2=rx^2+y^2+z^2=r. (EDIT: Såg nu att du insett det själv)

Laguna 4989
Postad: 8 jan 2019

Hur kunde 3×8π bli 32π?

mrlill_ludde 761
Postad: 8 jan 2019
AlvinB skrev:

Visserligen är cos(π2)=0\cos(\frac{\pi}{2})=0, men cos(0)=1\cos(0)=1!

[-cosφ]0π2=-cosπ2--cos0=0+1=1[-\cos\left(\varphi\right)]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(-\cos\left(0\right)\right)=0+1=1

Dessutom har du missat att x2+y2+z2=r2x^2+y^2+z^2=r^2 och inte x2+y2+z2=rx^2+y^2+z^2=r. (EDIT: Såg nu att du insett det själv)

 Ja iofs, det är ju sant. :) tack!

Svara Avbryt
Close